Номер 963, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Решение неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 963, страница 214.

963. Найдите множество значений k, при которых уравнение имеет два корня.

(k – 4)x² + 16x – 24 = 0

$$\begin{gathered} \left(k-4\right)x^2+16x-24=0 \\ D=16^2-4·\left(-24\right)\left(k-4\right)=256+96\left(k-4\right) \end{gathered}$$

Уравнение имеет два корня при $D>0D>0$ и k-4≠0; k≠4

$$\begin{gathered} 256+96\left(k-4\right)>0 \\ 256+96k-384>0 \\ 96k-128>0 \\ 96k>128 \\ k>\frac{128}{96} \\ k>\frac{4}{3} \\ k>1\frac{1}{3} \text{и }k\ne 4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1\frac{1}{3}; 4\right)\cup \left(4; +\mathrm{\infty }\right)(1\backslash frac\{1\}\{3\};4)\; \backslash cup\; (4;+\backslash infty)$

Для того чтобы уравнение $(k - 4)x^2 + 16x - 24 = 0$ имело два корня, необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным. Это означает, что коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.

2. Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных действительных корней.

Рассмотрим первое условие. Коэффициент при $x^2$ равен $(k - 4)$. Приравняем его к нулю, чтобы найти значение $k$, при котором уравнение перестает быть квадратным.

$k - 4 \neq 0$

$k \neq 4$

Если $k = 4$, исходное уравнение принимает вид:

$(4 - 4)x^2 + 16x - 24 = 0$

$0 \cdot x^2 + 16x - 24 = 0$

$16x - 24 = 0$

$16x = 24$

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

При $k=4$ уравнение становится линейным и имеет только один корень. Это не удовлетворяет условию задачи, поэтому значение $k=4$ необходимо исключить.

Теперь рассмотрим второе условие. Найдем дискриминант уравнения. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты:

$a = k - 4$

$b = 16$

$c = -24$

Вычислим дискриминант:

$D = 16^2 - 4 \cdot (k - 4) \cdot (-24) = 256 + 96(k - 4)$

$D = 256 + 96k - 384$

$D = 96k - 128$

Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть строго больше нуля:

$96k - 128 > 0$

$96k > 128$

$k > \frac{128}{96}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 32:

$k > \frac{4 \cdot 32}{3 \cdot 32}$

$k > \frac{4}{3}$

Теперь объединим оба полученных условия: $k > \frac{4}{3}$ и $k \neq 4$.

Поскольку $4 > \frac{4}{3}$, значение $k=4$ находится внутри промежутка $(\frac{4}{3}; +\infty)$. Следовательно, его нужно исключить из этого промежутка. Таким образом, множество значений $k$, удовлетворяющих условию, состоит из двух интервалов.

Ответ: $k \in (\frac{4}{3}; 4) \cup (4; +\infty)$.