Страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

932. Является ли решением неравенства 5y > 2(y – 1) + 6 значение y, равное:

а) 8; б) –2; в) 1,5; г) 2?

5y>2(y-1)+6

a) y=8

5*8>2(8-1)+6

40>20 - верно

Ответ: да

б) y=-2

5*(-2)>2(-2-1)+6

-10>0 - неверно

Ответ: нет

в) y=1,5

5*1,5>2*(1,5-1)+6

7,5>7 - верно

Ответ: да

г) y=2

5*2>2*(2-1)+6

10>8 - верно

Ответ: да

Для того чтобы проверить, является ли указанное значение $y$ решением неравенства $5y > 2(y - 1) + 6$, необходимо подставить это значение в неравенство и определить, получается ли в результате верное числовое неравенство.

а) Подставим $y = 8$:

$5 \cdot 8 > 2(8 - 1) + 6$

$40 > 2 \cdot 7 + 6$

$40 > 14 + 6$

$40 > 20$

Полученное неравенство является верным, следовательно, значение $y=8$ является решением исходного неравенства.

Ответ: да, является.

б) Подставим $y = -2$:

$5 \cdot (-2) > 2(-2 - 1) + 6$

$-10 > 2 \cdot (-3) + 6$

$-10 > -6 + 6$

$-10 > 0$

Полученное неравенство является неверным, следовательно, значение $y=-2$ не является решением исходного неравенства.

Ответ: нет, не является.

в) Подставим $y = 1,5$:

$5 \cdot 1,5 > 2(1,5 - 1) + 6$

$7,5 > 2 \cdot 0,5 + 6$

$7,5 > 1 + 6$

$7,5 > 7$

Полученное неравенство является верным, следовательно, значение $y=1,5$ является решением исходного неравенства.

Ответ: да, является.

г) Подставим $y = 2$:

$5 \cdot 2 > 2(2 - 1) + 6$

$10 > 2 \cdot 1 + 6$

$10 > 2 + 6$

$10 > 8$

Полученное неравенство является верным, следовательно, значение $y=2$ является решением исходного неравенства.

Ответ: да, является.

933. Укажите два каких-либо решения неравенства 2x ‹ x + 7.

2x<x+7

Ответ: x=5; x=0

Чтобы найти решения неравенства, сначала решим его относительно переменной $x$. Исходное неравенство:

$2x < x + 7$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$2x - x < 7$

После упрощения левой части получаем:

$x < 7$

Таким образом, решением неравенства является любое число, которое строго меньше 7. В задании требуется указать два любых таких числа.

Выберем два произвольных числа, удовлетворяющих условию $x < 7$.
1. Пусть первым решением будет $x_1 = 6$. Это число меньше 7, значит, оно является решением.
2. В качестве второго решения возьмем $x_2 = 0$. Это число также меньше 7, следовательно, оно тоже является решением.

Для проверки можно подставить эти значения в исходное неравенство:
При $x = 6$: $2 \cdot 6 < 6 + 7 \implies 12 < 13$ (верно).
При $x = 0$: $2 \cdot 0 < 0 + 7 \implies 0 < 7$ (верно).

Ответ: 6 и 0 (в качестве ответа можно указать любые другие два числа, которые меньше 7).

934. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

a) x+8>0

x>-8

Ответ: (-8;+∞)

б) x-7<0

x<7

Ответ: (-∞; 7)

в) x+1,5≤0

x≤-1,5

Ответ: (-∞;-1,5]

г) x-0,4≥0

x≥0,4

Ответ: [0,4;+∞)

а) $x + 8 > 0$

Для решения данного линейного неравенства необходимо изолировать переменную $x$. Перенесем число 8 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.
$x > 0 - 8$
$x > -8$
Множеством решений является открытый числовой луч, состоящий из всех чисел, больших -8. На координатной прямой это множество изображается штриховкой вправо от точки -8, при этом сама точка -8 изображается выколотой (пустым кружком), так как неравенство строгое.

Ответ: $x > -8$, или в виде интервала $x \in (-8; +\infty)$.

б) $x - 7 < 0$

Перенесем число -7 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.
$x < 0 + 7$
$x < 7$
Множеством решений является открытый числовой луч, состоящий из всех чисел, меньших 7. На координатной прямой это множество изображается штриховкой влево от точки 7, при этом сама точка 7 изображается выколотой, так как неравенство строгое.

Ответ: $x < 7$, или в виде интервала $x \in (-\infty; 7)$.

в) $x + 1,5 \le 0$

Перенесем число 1,5 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.
$x \le 0 - 1,5$
$x \le -1,5$
Множеством решений является числовой луч, состоящий из всех чисел, меньших или равных -1,5. На координатной прямой это множество изображается штриховкой влево от точки -1,5, при этом сама точка -1,5 включается в множество решений и изображается закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \le -1,5$, или в виде интервала $x \in (-\infty; -1,5]$.

г) $x - 0,4 \ge 0$

Перенесем число -0,4 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.
$x \ge 0 + 0,4$
$x \ge 0,4$
Множеством решений является числовой луч, состоящий из всех чисел, больших или равных 0,4. На координатной прямой это множество изображается штриховкой вправо от точки 0,4, при этом сама точка 0,4 включается в множество решений и изображается закрашенной, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \ge 0,4$, или в виде интервала $x \in [0,4; +\infty)$.