Страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

935. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}3x>15 \\ x>5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(5; +\mathrm{\infty }\right)(5;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}-4x<-16 \\ x>4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(4; +\mathrm{\infty }\right)(4;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -x\ge 1 \\ x\le -1 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -1]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}11y\le 33 \\ y\le 3 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 3]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}12y<1,8 \\ y<\frac{1,8}{12} \\ y<0,15 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 0,15\right)(-\backslash infty;\; 0,15)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}27b\ge 12 \\ b\ge \frac{12}{27} \\ b\ge \frac{4}{9} \end{gathered}$$

Ответ: $[\frac{4}{9}; +\mathrm{\infty })$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}-6x>1,5 \\ x<\frac{-1,5}{6} \\ x<-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{4}\right)(-\backslash infty;-\backslash frac\{1\}\{4\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}15x\le 0 \\ x\le 0 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 0]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}0,5y>-4 \\ y>\frac{-4}{0,5} \\ y>-8 \end{gathered}$$

Ответ: (-8;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{к) }}2,5a>0 \\ a>0 \end{gathered}$$

Ответ: (0;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{л) }}\frac{1}{3}x>6 \\ x>18 \end{gathered}$$

Ответ: (18;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{м) }}-\frac{1}{7}y<-1 \\ y>7 \end{gathered}$$

Ответ: (7;+∞)

а) Чтобы решить неравенство $3x > 15$, разделим обе его части на положительное число 3, при этом знак неравенства не изменится.
$x > \frac{15}{3}$
$x > 5$
Ответ: $x > 5$.

б) Чтобы решить неравенство $-4x < -16$, разделим обе его части на отрицательное число -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный (с `<` на `>`).
$x > \frac{-16}{-4}$
$x > 4$
Ответ: $x > 4$.

в) Чтобы решить неравенство $-x \geq 1$, умножим обе его части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный (с `≥` на `≤`).
$x \leq 1 \cdot (-1)$
$x \leq -1$
Ответ: $x \leq -1$.

г) Чтобы решить неравенство $11y \leq 33$, разделим обе его части на положительное число 11, при этом знак неравенства не изменится.
$y \leq \frac{33}{11}$
$y \leq 3$
Ответ: $y \leq 3$.

д) Чтобы решить неравенство $12y < 1,8$, разделим обе его части на положительное число 12, при этом знак неравенства не изменится.
$y < \frac{1,8}{12}$
$y < 0,15$
Ответ: $y < 0,15$.

е) Чтобы решить неравенство $27b \geq 12$, разделим обе его части на положительное число 27, при этом знак неравенства не изменится.
$b \geq \frac{12}{27}$
Сократим дробь на 3: $b \geq \frac{4}{9}$
Ответ: $b \geq \frac{4}{9}$.

ж) Чтобы решить неравенство $-6x > 1,5$, разделим обе его части на отрицательное число -6, при этом знак неравенства изменится на противоположный (с `>` на `<`).
$x < \frac{1,5}{-6}$
$x < -0,25$
Ответ: $x < -0,25$.

з) Чтобы решить неравенство $15x \leq 0$, разделим обе его части на положительное число 15, при этом знак неравенства не изменится.
$x \leq \frac{0}{15}$
$x \leq 0$
Ответ: $x \leq 0$.

и) Чтобы решить неравенство $0,5y > -4$, разделим обе его части на положительное число 0,5, при этом знак неравенства не изменится.
$y > \frac{-4}{0,5}$
$y > -8$
Ответ: $y > -8$.

к) Чтобы решить неравенство $2,5a > 0$, разделим обе его части на положительное число 2,5, при этом знак неравенства не изменится.
$a > \frac{0}{2,5}$
$a > 0$
Ответ: $a > 0$.

л) Чтобы решить неравенство $\frac{1}{3}x > 6$, умножим обе его части на положительное число 3, при этом знак неравенства не изменится.
$x > 6 \cdot 3$
$x > 18$
Ответ: $x > 18$.

м) Чтобы решить неравенство $-\frac{1}{7}y < -1$, умножим обе его части на отрицательное число -7, при этом знак неравенства изменится на противоположный (с `<` на `>`).
$y > -1 \cdot (-7)$
$y > 7$
Ответ: $y > 7$.

936. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2x<17 \\ x<8,5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 8,5\right)(-\backslash infty;\; 8,5)$

б) $$\begin{gathered} 5x\ge -35x\; \backslash ge\; -3 \\ x\ge -0,6x\; \backslash ge\; -0,6 \end{gathered}$$

Ответ: $[-0,6; +\mathrm{\infty }[-0,6;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}-12x<-48 \\ x>4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(4; +\mathrm{\infty }\right)(4;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-x\le -7,5 \\ x\ge 7,5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(7,5; +\mathrm{\infty }\right)(7,5;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}30x>40 \\ x>\frac{40}{30} \\ x>\frac{4}{3} \\ x>1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1\frac{1}{3}; +\mathrm{\infty }\right)(1\backslash frac\{1\}\{3\};+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}-15x<-27 \\ x>\frac{27}{15} \\ x>\frac{9}{5} \\ x>1,8 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1,8; +\mathrm{\infty }\right)(1,8;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}-4x\ge -1 \\ x\le \frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{4}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}10x\le -24 \\ x\le -2,4 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-2,4]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}\frac{1}{6}x<2 \\ x<12 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty };12\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{к) }}-\frac{1}{3}x<0 \\ x>0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{л) }}0,02x\ge -0,6 \\ x\ge \frac{-0,6}{0,02} \\ x\ge \frac{-60}{2} \\ x\ge -30 \end{gathered}$$

Ответ: $[-30; +\mathrm{\infty }[-30;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{м) }}-1,8x\le 36 \\ x\ge \frac{-36}{1,8} \\ x\ge -20 \end{gathered}$$

Ответ: $[-20; +\mathrm{\infty }[-20;+\backslash infty)$)

а)

Дано неравенство $2x < 17$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{17}{2}$

$x < 8,5$

Множество решений — это все числа, которые меньше 8,5. На координатной прямой это будет открытый луч, идущий влево от точки 8,5. Точка 8,5 не включается в решение (обозначается выколотой точкой).

Ответ: $x \in (-\infty; 8,5)$.

б)

Дано неравенство $5x \ge -3$.

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{-3}{5}$

$x \ge -0,6$

Множество решений — все числа, большие или равные -0,6. На координатной прямой это луч, идущий вправо от точки -0,6. Точка -0,6 включается в решение (обозначается закрашенной точкой).

Ответ: $x \in [-0,6; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $-12x < -48$.

Разделим обе части на -12. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-48}{-12}$

$x > 4$

Решением являются все числа больше 4. На прямой это открытый луч, идущий вправо от выколотой точки 4.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $-x < -7,5$.

Умножим (или разделим) обе части на -1, меняя знак неравенства на противоположный:

$x > 7,5$

Решением являются все числа больше 7,5. На прямой это открытый луч, идущий вправо от выколотой точки 7,5.

Ответ: $x \in (7,5; +\infty)$.

д)

Дано неравенство $30x > 40$.

Разделим обе части на 30. Знак неравенства не меняется:

$x > \frac{40}{30}$

$x > \frac{4}{3}$

Решением являются все числа больше $\frac{4}{3}$. На прямой это открытый луч, идущий вправо от выколотой точки $\frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.

е)

Дано неравенство $-15x < -27$.

Разделим обе части на -15, меняя знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-27}{-15}$

$x > \frac{9}{5}$ или $x > 1,8$

Решением являются все числа больше 1,8. На прямой это открытый луч, идущий вправо от выколотой точки 1,8.

Ответ: $x \in (1,8; +\infty)$.

ж)

Дано неравенство $-4x \ge -1$.

Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-4}$

$x \le \frac{1}{4}$ или $x \le 0,25$

Множество решений — все числа, меньшие или равные 0,25. На прямой это луч, идущий влево от закрашенной точки 0,25.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,25]$.

з)

Дано неравенство $10x \le -24$.

Разделим обе части на 10. Знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{-24}{10}$

$x \le -2,4$

Множество решений — все числа, меньшие или равные -2,4. На прямой это луч, идущий влево от закрашенной точки -2,4.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,4]$.

и)

Дано неравенство $\frac{1}{6}x < 2$.

Умножим обе части на 6. Знак неравенства не меняется:

$x < 2 \cdot 6$

$x < 12$

Решением являются все числа меньше 12. На прямой это открытый луч, идущий влево от выколотой точки 12.

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$.

к)

Дано неравенство $-\frac{1}{3}x < 0$.

Умножим обе части на -3, меняя знак неравенства на противоположный:

$x > 0 \cdot (-3)$

$x > 0$

Решением являются все числа больше 0. На прямой это открытый луч, идущий вправо от выколотой точки 0.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

л)

Дано неравенство $0,02x \ge -0,6$.

Разделим обе части на 0,02. Знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{-0,6}{0,02}$

$x \ge -30$

Множество решений — все числа, большие или равные -30. На прямой это луч, идущий вправо от закрашенной точки -30.

Ответ: $x \in [-30; +\infty)$.

м)

Дано неравенство $-1,8x \le 36$.

Разделим обе части на -1,8, меняя знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{36}{-1,8}$

$x \ge -20$

Множество решений — все числа, большие или равные -20. На прямой это луч, идущий вправо от закрашенной точки -20.

Ответ: $x \in [-20; +\infty)$.

937. Решите неравенство 5x + 1 > 11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства.

5x+1>11

5x>10

x>2

Ответ: (2;+∞), 5; 10; 100

Решите неравенство 5x + 1 > 11

Для решения данного линейного неравенства необходимо найти все значения $x$, при которых оно является верным. Для этого изолируем переменную $x$ в левой части.

1. Исходное неравенство:

$5x + 1 > 11$

2. Перенесем свободный член, число 1, из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x > 11 - 1$

3. Выполним вычитание в правой части неравенства:

$5x > 10$

4. Разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $x$, то есть на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

$\frac{5x}{5} > \frac{10}{5}$

$x > 2$

Решением неравенства являются все числа, строго большие 2. Это можно записать в виде числового промежутка $x \in (2; +\infty)$.

Ответ: $x > 2$.

Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства

Решением неравенства является любое число, которое больше 2. Для того чтобы указать три примера, нужно выбрать любые три числа, удовлетворяющие этому условию.

Например, выберем следующие числа:

1. Целое число 3. Проверка: $3 > 2$. Верно.

2. Целое число 15. Проверка: $15 > 2$. Верно.

3. Дробное число 2,5. Проверка: $2,5 > 2$. Верно.

Ответ: 3; 15; 2,5.

938. Решите неравенство 3x – 2 ‹ 6. Является ли решением этого неравенства число: 4; 245; 247?

$$\begin{gathered} 3x-2<6 \\ 3x<8 \\ x<\frac{8}{3} \\ x<2\frac{2}{3} \\ 2\frac{4}{5}<2\frac{2}{3} \\ 2\frac{12}{12}<2\frac{10}{15} \text{- неверно} \\ 2\frac{4}{7}<2\frac{2}{3} \\ 2\frac{12}{21}<2\frac{14}{21} \text{- верно} \\ 4<2\frac{2}{3} \text{- неверно} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 2\frac{2}{3}\right); 2\frac{4}{7}(-\backslash infty;\; 2\backslash frac\{2\}\{3\});\; 2\backslash frac\{4\}\{7\}$

Решите неравенство $3x - 2 < 6$
Для решения данного линейного неравенства необходимо изолировать переменную $x$.
1. Перенесем число -2 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный:
$3x < 6 + 2$
$3x < 8$
2. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства при делении не изменяется:
$x < \frac{8}{3}$
3. Для удобства дальнейшего сравнения преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Таким образом, решением неравенства является любое число, строго меньшее $2\frac{2}{3}$.
Ответ: $x < 2\frac{2}{3}$.

Является ли решением этого неравенства число: 4; $2\frac{4}{5}$; $2\frac{4}{7}$?
Чтобы проверить, является ли каждое из чисел решением, подставим их в полученное неравенство $x < 2\frac{2}{3}$.

• Проверяем число 4:
$4 < 2\frac{2}{3}$
Это неравенство является ложным, так как целая часть числа 4 больше целой части числа $2\frac{2}{3}$. Следовательно, число 4 не является решением.

• Проверяем число $2\frac{4}{5}$:
$2\frac{4}{5} < 2\frac{2}{3}$
Целые части чисел равны, поэтому сравним их дробные части $\frac{4}{5}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
Так как $\frac{12}{15} > \frac{10}{15}$, то и $2\frac{4}{5} > 2\frac{2}{3}$. Неравенство $2\frac{4}{5} < 2\frac{2}{3}$ является ложным. Следовательно, число $2\frac{4}{5}$ не является решением.

• Проверяем число $2\frac{4}{7}$:
$2\frac{4}{7} < 2\frac{2}{3}$
Сравним дробные части $\frac{4}{7}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 21:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$
Так как $\frac{12}{21} < \frac{14}{21}$, то и $2\frac{4}{7} < 2\frac{2}{3}$. Неравенство является истинным. Следовательно, число $2\frac{4}{7}$ является решением.

Ответ: Число 4 не является решением; число $2\frac{4}{5}$ не является решением; число $2\frac{4}{7}$ является решением.

939. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}7x-2,4<0,4 \\ 7x<2,8 \\ x<0,4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 0,4\right)(-\backslash infty;\; 0,4)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}1-5y>3 \\ -5y>2 \\ y<-\frac{2}{5} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -\frac{2}{5}\right)(-\backslash infty;\; -\backslash frac\{2\}\{5\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2x-17\ge -27 \\ 2x\ge -27+17 \\ 2x\ge -10 \\ x\ge -5 \end{gathered}$$

Ответ: $[-5; +\mathrm{\infty }[-5;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2-3a\le 1 \\ -3a\le -1 \\ a\ge \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $[\frac{1}{3}; +\mathrm{\infty }[\backslash frac\{1\}\{3\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}17-x>10-6x \\ -x+6x>10-17 \\ 5x>-7 \\ x>-\frac{7}{5} \\ x>-1,4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-1,4; +\mathrm{\infty }\right)(-1,4;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}30+5x\le 18-7x \\ 5x+7x\le 18-30 \\ 12x\le -12 \\ x\le -1 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -1]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}64-6y\ge 1-y \\ -6y+y\ge 1-64 \\ -5y\ge -63 \\ y\le \frac{63}{5} \\ y\le 12,6 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 12,6]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}8+5y\le 21+6y \\ 5y-6y\le 21-8 \\ -y\le 13 \\ y\ge -13 \end{gathered}$$

Ответ: $[-13; +\mathrm{\infty }[-13;+\backslash infty)$)

а) $7x - 2,4 < 0,4$

Перенесем слагаемое $-2,4$ из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:

$7x < 0,4 + 2,4$

$7x < 2,8$

Разделим обе части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{2,8}{7}$

$x < 0,4$

Ответ: $x \in (-\infty; 0,4)$.

б) $1 - 5y > 3$

Перенесем 1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$-5y > 3 - 1$

$-5y > 2$

Разделим обе части неравенства на -5. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с `>` на `<`):

$y < \frac{2}{-5}$

$y < -0,4$

Ответ: $y \in (-\infty; -0,4)$.

в) $2x - 17 \ge -27$

Перенесем $-17$ в правую часть неравенства:

$2x \ge -27 + 17$

$2x \ge -10$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{-10}{2}$

$x \ge -5$

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

г) $2 - 3a \le 1$

Перенесем 2 в правую часть:

$-3a \le 1 - 2$

$-3a \le -1$

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный (с `?` на `?`):

$a \ge \frac{-1}{-3}$

$a \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $a \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

д) $17 - x > 10 - 6x$

Соберем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой. При переносе через знак неравенства меняем знак слагаемого на противоположный:

$-x + 6x > 10 - 17$

$5x > -7$

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется:

$x > -\frac{7}{5}$

$x > -1,4$

Ответ: $x \in (-1,4; +\infty)$.

е) $30 + 5x \le 18 - 7x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$5x + 7x \le 18 - 30$

$12x \le -12$

Разделим обе части на 12. Знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{-12}{12}$

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

ж) $64 - 6y \ge 1 - y$

Перенесем слагаемые с $y$ влево, а числа вправо:

$-6y + y \ge 1 - 64$

$-5y \ge -63$

Разделим обе части на -5 и изменим знак неравенства на противоположный (с `?` на `?`):

$y \le \frac{-63}{-5}$

$y \le 12,6$

Ответ: $y \in (-\infty; 12,6]$.

з) $8 + 5y \le 21 + 6y$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону (например, в левую), а числа — в другую:

$5y - 6y \le 21 - 8$

$-y \le 13$

Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `?` на `?`):

$y \ge -13$

Ответ: $y \in [-13; +\infty)$.

940. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}11x-2<9 \\ 11x<11 \\ x<1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 1\right)(-\backslash infty;1)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}2-3y>-4 \\ -3y>-4-2 \\ -3y>-6 \\ y<2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 2\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}17-x\le 11 \\ -x\le 11-17 \\ -x\le -6 \\ x\ge 6 \end{gathered}$$

Ответ: $[6; +\mathrm{\infty }[6;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2-12x>-1 \\ -12x>-1-2 \\ -12x>-3 \\ x<\frac{3}{12} \\ x<\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{4}\right)(-\backslash infty;\; \backslash frac\{1\}\{4\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}3y-1>-1+6y \\ 3y-6y>-1+1 \\ -3y>0 \\ y<0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}0,2x-2<7-0,8x \\ 0,2x+0,8x<7+2 \\ x<9 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 9\right)(-\backslash infty;\; 9)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}6b-1<12+7b \\ 6b-7b<12+1 \\ -b<13 \\ b>-13 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-13; +\mathrm{\infty }\right)(-13;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}16x-34>x+1 \\ 16x-x>1+34 \\ 15x>35 \\ x>\frac{35}{15} \\ x>\frac{7}{3} \\ x>2\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2\frac{1}{3}; +\mathrm{\infty }\right)(2\backslash frac\{1\}\{3\};+\backslash infty)$

а) $11x - 2 < 9$

Перенесем слагаемое $-2$ из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:

$11x < 9 + 2$

$11x < 11$

Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент $11$. Знак неравенства при этом сохраняется:

$x < \frac{11}{11}$

$x < 1$

Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше $1$. На координатной прямой это соответствует открытому лучу $(-\infty; 1)$. Точка $1$ изображается выколотой (пустой), так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) $2 - 3y > -4$

Перенесем число $2$ в правую часть неравенства:

$-3y > -4 - 2$

$-3y > -6$

Разделим обе части неравенства на отрицательный коэффициент $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $>$ на $<$):

$y < \frac{-6}{-3}$

$y < 2$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 2)$. На координатной прямой отмечаем выколотую точку $2$ и штрихуем область слева от нее.

Ответ: $y \in (-\infty; 2)$.

в) $17 - x \le 11$

Вычтем $17$ из обеих частей неравенства:

$-x \le 11 - 17$

$-x \le -6$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства $\le$ меняется на $\ge$:

$x \ge 6$

Множество решений — числовой промежуток $[6; +\infty)$. На координатной прямой это луч, начинающийся в точке $6$ и идущий вправо. Точка $6$ включается в решение (неравенство нестрогое), поэтому изображается закрашенной.

Ответ: $x \in [6; +\infty)$.

г) $2 - 12x > -1$

Перенесем $2$ в правую часть:

$-12x > -1 - 2$

$-12x > -3$

Разделим обе части на $-12$, меняя знак неравенства с $>$ на $<$:

$x < \frac{-3}{-12}$

$x < \frac{1}{4}$

Решением является интервал $(-\infty; \frac{1}{4})$. На прямой это область слева от выколотой точки $\frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4})$.

д) $3y - 1 > -1 + 6y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$3y - 6y > -1 + 1$

$-3y > 0$

Разделим обе части на $-3$, не забывая поменять знак неравенства на противоположный:

$y < \frac{0}{-3}$

$y < 0$

Решением является интервал $(-\infty; 0)$. На координатной прямой отмечаем выколотую точку $0$ и штрихуем область слева.

Ответ: $y \in (-\infty; 0)$.

е) $0,2x - 2 < 7 - 0,8x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$0,2x + 0,8x < 7 + 2$

$1x < 9$

$x < 9$

Множество решений — это интервал $(-\infty; 9)$. На координатной прямой это область левее выколотой точки $9$.

Ответ: $x \in (-\infty; 9)$.

ж) $6b - 1 < 12 + 7b$

Соберем слагаемые с переменной $b$ в левой части, а константы — в правой:

$6b - 7b < 12 + 1$

$-b < 13$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства с $<$ на $>$:

$b > -13$

Множество решений — интервал $(-13; +\infty)$. На координатной прямой это область правее выколотой точки $-13$.

Ответ: $b \in (-13; +\infty)$.

з) $16x - 34 > x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$16x - x > 1 + 34$

$15x > 35$

Разделим обе части на положительное число $15$. Знак неравенства не меняется.

$x > \frac{35}{15}$

Сократим дробь на $5$:

$x > \frac{7}{3}$

Решением является интервал $(\frac{7}{3}; +\infty)$. На координатной прямой это область правее выколотой точки $\frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$.

941. а) При каких значениях х двучлен 2x – 1 принимает положительные значения?

б) При каких значениях y двучлен 21 – 3y принимает отрицательные значения?

в) При каких значениях с двучлен 5 – 3c принимает значения, большие 80?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2x-1>0 \\ 2x>1 \\ x>\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ответ: при $x>\frac{1}{2}x>\backslash frac\{1\}\{2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}21-3y<0 \\ 3y>21 \\ y>7 \end{gathered}$$

Ответ: при $y>7y\; >7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5-3c>80 \\ -3c>75 \\ c<-25 \end{gathered}$$

Ответ: при

а) Чтобы двучлен $2x - 1$ принимал положительные значения, он должен быть строго больше нуля. Это условие можно записать в виде неравенства:
$2x - 1 > 0$
Для решения этого неравенства сначала перенесем свободный член ($-1$) в правую часть, изменив его знак на противоположный:
$2x > 1$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $2$. Так как $2$ — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x > \frac{1}{2}$
Это означает, что двучлен $2x - 1$ будет положительным при всех значениях $x$, которые строго больше $\frac{1}{2}$.
Ответ: $x > \frac{1}{2}$.

б) Чтобы двучлен $21 - 3y$ принимал отрицательные значения, он должен быть строго меньше нуля. Запишем соответствующее неравенство:
$21 - 3y < 0$
Перенесем член $-3y$ в правую часть, чтобы работать с положительным коэффициентом, или перенесем $21$ в правую часть:
$-3y < -21$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $y$, то есть на $-3$. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`):
$y > \frac{-21}{-3}$
$y > 7$
Следовательно, двучлен $21 - 3y$ принимает отрицательные значения при всех значениях $y$, которые строго больше $7$.
Ответ: $y > 7$.

в) Условие, что двучлен $5 - 3c$ принимает значения, большие $80$, можно записать в виде неравенства:
$5 - 3c > 80$
Для решения этого неравенства перенесем свободный член ($5$) из левой части в правую, изменив его знак:
$-3c > 80 - 5$
$-3c > 75$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $c$, то есть на $-3$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с `>` на `<`):
$c < \frac{75}{-3}$
$c < -25$
Таким образом, двучлен $5 - 3c$ принимает значения, большие $80$, при всех значениях $c$, которые строго меньше $-25$.
Ответ: $c < -25$.

942. а) При каких значениях а значения двучлена 2a – 1 меньше значений двучлена 7 – 1,2a?

б) При каких значениях р значения двучлена 1,5p – 1 больше значений двучлена 1 + 1,1p?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2a-1<7-\mathrm{1,2}a \\ 2a+\mathrm{1,2}a<7+1 \\ \mathrm{3,2}a<8 \\ a<\frac{8}{\mathrm{3,2}} \\ a<\mathrm{2,5} \end{gathered}$$

Ответ: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\mathrm{1,5}p-1>1+\mathrm{1,1}p \\ \mathrm{1,5}p-\mathrm{1,1}p>1+1 \\ \mathrm{0,4}p>2 \\ p>\frac{2}{\mathrm{0,4}} \\ p>5 \end{gathered}$$

Ответ: при $p>5p\; >\; 5$

а) Чтобы найти значения а, при которых значения двучлена $2a - 1$ меньше значений двучлена $7 - 1,2a$, необходимо составить и решить следующее неравенство:

$2a - 1 < 7 - 1,2a$

Сначала перенесем члены с переменной а в левую часть неравенства, а числовые члены — в правую. При переносе через знак неравенства знак члена меняется на противоположный.

$2a + 1,2a < 7 + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$3,2a < 8$

Чтобы найти а, разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной, то есть на 3,2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$a < \frac{8}{3,2}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$a < \frac{80}{32}$

Сократим полученную дробь:

$a < 2,5$

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений а, которые меньше 2,5.

Ответ: при $a < 2,5$.

б) Чтобы найти значения p, при которых значения двучлена $1,5p - 1$ больше значений двучлена $1 + 1,1p$, составим и решим соответствующее неравенство:

$1,5p - 1 > 1 + 1,1p$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную p, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть неравенства, меняя их знаки:

$1,5p - 1,1p > 1 + 1$

Упростим обе части, выполнив вычитание и сложение:

$0,4p > 2$

Теперь разделим обе части неравенства на 0,4. Так как 0,4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$p > \frac{2}{0,4}$

Избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$p > \frac{20}{4}$

Выполним деление:

$p > 5$

Следовательно, неравенство верно для всех значений p, которые строго больше 5.

Ответ: при $p > 5$.