Номер 983, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 983, страница 220.

983. Найдите область определения функции:

а) $y=\frac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}$

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}\ne 0\\ x+6\ge 0\\ 2x-5\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+6}\ne \sqrt{2x-5}\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x+6\ne 2x-5\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-2x\ne -5-6\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x\ne -11\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 11\\ x\ge -6\\ x\ge \mathrm{2,5}\end{array}\right.$

Ответ: $[2,5; 11)\cup (11; +\infty )$

б) $y=\frac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}$

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}\ne 0\\ 2x-1\ge 0\\ x+1\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2x-1}\ne \sqrt{x+1}\\ 2x\ge 1\\ x\ge -1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-1\ne x+1\\ x\ge \mathrm{0,5}\\ x\ge -1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-x\ne 1+1\\ x\ge \mathrm{0,5}\\ x\ge -1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ge \mathrm{0,5}\\ x\ge -1\end{array}\right.$

Ответ: $[0,5; 2)\cup (2; +\infty )$

а) $y = \frac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}$

Область определения функции (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 2x-5 \ge 0 \\ \sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \neq 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства, чтобы найти допустимые значения для подкоренных выражений:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо взять пересечение их решений, то есть $x \ge 2.5$. Это можно записать в виде интервала: $[2.5, +\infty)$.

Теперь решим третье условие, касающееся знаменателя:

$\sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \neq 0$

$\sqrt{x+6} \neq \sqrt{2x-5}$

Поскольку на найденном промежутке $x \ge 2.5$ обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$x+6 \neq 2x-5$

$6+5 \neq 2x-x$

$11 \neq x$

Итак, из промежутка $[2.5, +\infty)$ необходимо исключить точку $x=11$.

Объединяя все условия, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [2.5, 11) \cup (11, +\infty)$.

б) $y = \frac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}$

Область определения этой функции также находится из условий неотрицательности подкоренных выражений и неравенства знаменателя нулю.

Составим соответствующую систему:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства:

$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Пересечением решений этих двух неравенств является промежуток $x \ge 0.5$, или $x \in [0.5, +\infty)$.

Теперь рассмотрим условие для знаменателя:

$\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \neq 0$

$\sqrt{2x-1} \neq \sqrt{x+1}$

Возводим обе части в квадрат, так как при $x \ge 0.5$ они обе неотрицательны:

$2x-1 \neq x+1$

$2x-x \neq 1+1$

$x \neq 2$

Следовательно, из промежутка $[0.5, +\infty)$ нужно исключить точку $x=2$.

Объединяя все условия, получаем итоговую область определения.

Ответ: $D(y) = [0.5, 2) \cup (2, +\infty)$.