Номер 986, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 986, страница 221.

986. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями:

a) $\left\{\begin{array}{l}3-2a<13\\ 5a<17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2a<10\\ a<\frac{17}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a>-5\\ a<\mathrm{3,4}\end{array}\right.$

(-5; 3,4)

Ответ: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3

б) $\left\{\begin{array}{l}12-6x\le 0\\ 3x+1\le 25-x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x\ge 12\\ 3x+x\le 24\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ 4x\le 24\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le 6\end{array}\right.$

[2; 6]

Ответ: 2; 3; 4; 5; 6

в) $\left\{\begin{array}{l}2-6y<14\\ 1<21-5y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6y<12\\ 5y<20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>-2\\ y<4\end{array}\right.$

(-2;4)

Ответ: -1; 0; 1; 2; 3

г) $\left\{\begin{array}{l}3-4x<15\\ 1-2x>0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4x<12\\ -2x>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-3\\ x<\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Ответ: (-3; $\frac{1}{2}$); -2; -1; 0

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - 2a < 13 \\ 5a < 17 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3 - 2a < 13$.

Вычтем 3 из обеих частей:

$-2a < 13 - 3$

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a > \frac{10}{-2}$

$a > -5$

Решим второе неравенство: $5a < 17$.

Разделим обе части на 5:

$a < \frac{17}{5}$

$a < 3.4$

Объединяем решения: $a$ должно быть одновременно больше -5 и меньше 3.4. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-5 < a < 3.4$.

Решением системы является интервал $a \in (-5; 3.4)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 12 - 6x \le 0 \\ 3x + 1 \le 25 - x \end{cases} $

Решим первое неравенство: $12 - 6x \le 0$.

Вычтем 12 из обеих частей:

$-6x \le -12$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{-12}{-6}$

$x \ge 2$

Решим второе неравенство: $3x + 1 \le 25 - x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x + x \le 25 - 1$

$4x \le 24$

Разделим обе части на 4:

$x \le \frac{24}{4}$

$x \le 6$

Объединяем решения: $x$ должно быть одновременно больше или равно 2 и меньше или равно 6. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 \le x \le 6$.

Решением системы является отрезок $x \in [2; 6]$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6.

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - 6y < 14 \\ 1 < 21 - 5y \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2 - 6y < 14$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$-6y < 14 - 2$

$-6y < 12$

Разделим обе части на -6, меняя знак неравенства:

$y > \frac{12}{-6}$

$y > -2$

Решим второе неравенство: $1 < 21 - 5y$.

Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть, а число — в правую:

$5y < 21 - 1$

$5y < 20$

Разделим обе части на 5:

$y < \frac{20}{5}$

$y < 4$

Объединяем решения: $y$ должно быть одновременно больше -2 и меньше 4. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-2 < y < 4$.

Решением системы является интервал $y \in (-2; 4)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - 4x < 15 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3 - 4x < 15$.

Вычтем 3 из обеих частей:

$-4x < 15 - 3$

$-4x < 12$

Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства:

$x > \frac{12}{-4}$

$x > -3$

Решим второе неравенство: $1 - 2x > 0$.

Вычтем 1 из обеих частей:

$-2x > -1$

Разделим обе части на -2, меняя знак неравенства:

$x < \frac{-1}{-2}$

$x < 0.5$

Объединяем решения: $x$ должно быть одновременно больше -3 и меньше 0.5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < x < 0.5$.

Решением системы является интервал $x \in (-3; 0.5)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -2, -1, 0.

Ответ: -2, -1, 0.