Номер 982, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Решение систем неравенств с одной переменной. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 982, страница 220.

982. Укажите допустимые значения переменной:

а) $\sqrt{3-2x}+\sqrt{1-x}$

$\left\{\begin{array}{l}3-2x\ge 0\\ 1-x\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\le 3\\ x\le 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 1,5\\ x\le 1\end{array}\right.$

Ответ: (-∞; 1]

б) $\sqrt{x}-\sqrt{3x-1}$

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 3x-1\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 3x\ge 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ge \frac{1}{3}\end{array}\right.$

Ответ: [$\frac{1}{3}; +\infty$)

 

в) $\sqrt{6-x}-\sqrt{3x-9}$

$\left\{\begin{array}{l}6-x\ge 0\\ 3x-9\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 6\\ 3x\ge 9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\le 6\\ x\ge 3\end{array}\right.$

Ответ: [3; 6]

г) $\sqrt{2x+2}+\sqrt{6-4x}$

$\left\{\begin{array}{c}2x+2\ge 0\\ 6-4x\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\ge -2\\ -4x\ge -6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le \frac{-6}{-4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ge -1\\ x\le 1,5\end{array}\right.$

Ответ: [-1; 1,5]

а) Допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}$ находятся из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $3 - 2x \ge 0$ и $1 - x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $3 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -3 \implies x \le \frac{3}{2}$.

Решим второе неравенство: $1 - x \ge 0 \implies -x \ge -1 \implies x \le 1$.

Общим решением системы является пересечение полученных множеств, то есть все значения $x$, удовлетворяющие обоим неравенствам одновременно. Таким образом, $x \le 1$. Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

б) Для выражения $\sqrt{x - \sqrt{3x-1}}$ область допустимых значений определяется системой из двух условий: подкоренное выражение внутреннего корня и подкоренное выражение внешнего корня должны быть неотрицательными. То есть: $3x - 1 \ge 0$ и $x - \sqrt{3x-1} \ge 0$.

Из первого неравенства получаем: $3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$.

Решим второе неравенство: $x - \sqrt{3x-1} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{3x-1}$.

Для существования решения необходимо, чтобы левая часть была неотрицательна, $x \ge 0$. Учитывая, что мы уже имеем условие $x \ge \frac{1}{3}$, это требование выполняется. Поскольку обе части неравенства $x \ge \sqrt{3x-1}$ неотрицательны при $x \ge \frac{1}{3}$, можно возвести их в квадрат:

$x^2 \ge 3x - 1 \implies x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$ по формуле: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Так как парабола $y = x^2 - 3x + 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется для $x \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $x \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь нужно найти пересечение этого решения с условием $x \ge \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$, то общее решение — это объединение промежутков, удовлетворяющих всем условиям: $[\frac{1}{3}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$. Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

в) Допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{6-x} - \sqrt{3x-9}$ определяются системой неравенств, в которой оба подкоренных выражения неотрицательны: $6 - x \ge 0$ и $3x - 9 \ge 0$.

Решим первое неравенство: $6 - x \ge 0 \implies 6 \ge x \implies x \le 6$.

Решим второе неравенство: $3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$.

Пересечением решений $x \le 6$ и $x \ge 3$ является отрезок $3 \le x \le 6$. Ответ: $x \in [3, 6]$.

г) Допустимые значения переменной для выражения $\sqrt{2x+2} + \sqrt{6-4x}$ определяются системой неравенств: $2x + 2 \ge 0$ и $6 - 4x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $2x + 2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$.

Решим второе неравенство: $6 - 4x \ge 0 \implies 6 \ge 4x \implies x \le \frac{6}{4} \implies x \le \frac{3}{2}$.

Пересечением решений $x \ge -1$ и $x \le \frac{3}{2}$ является отрезок $-1 \le x \le \frac{3}{2}$. Ответ: $x \in [-1, \frac{3}{2}]$.