Страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1026. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab} \\ \frac{a{c}^2+b}{c}\ge 2\sqrt{ab} \\ a{c}^2+b\ge 2c\sqrt{ab} \\ a{c}^2+b\ge 2\sqrt{ab{c}^2} \end{gathered}$$
$\frac{a{c}^2+b}{2}\ge \sqrt{ab{c}^2}$ при $a>0, b>0, c>0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8 \\ \begin{array}{cc} & 1+\frac{a^2}{bc}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}\\ \times & 1+\frac{b^2}{ac}\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}}\\ & 1+\frac{c^2}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}\end{array} \\ \overline{\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8\sqrt{\frac{a^2}{bc}·\frac{b^2}{ac}·\frac{c^2}{ab}}} \\ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8\sqrt{\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2{b}^2{c}^2}} \\ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8 \end{gathered}$$

при $a>0, b>0, c>0$

Основным инструментом для доказательства обоих неравенств является соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое утверждает, что их среднее арифметическое всегда не меньше их среднего геометрического:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или в эквивалентной форме $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Равенство достигается только тогда, когда $x = y$.

а) Требуется доказать, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим левую часть неравенства как сумму двух слагаемых: $x = ac$ и $y = \frac{b}{c}$. Поскольку по условию $a, b, c$ — положительные числа, то и $x$, и $y$ также положительны.

Применим к этим двум слагаемым неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

Подставим наши выражения для $x$ и $y$:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}}$

Теперь упростим выражение под корнем в правой части неравенства:

$2\sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}} = 2\sqrt{a \cdot c \cdot \frac{b}{c}} = 2\sqrt{ab}$

Таким образом, мы получили:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$

Это и есть то неравенство, которое требовалось доказать. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$ доказано.

б) Требуется доказать, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство $(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge 8$.

Для доказательства этого неравенства мы применим соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим к каждому из трех множителей в левой части.

1. Рассмотрим первый множитель: $(1+\frac{a^2}{bc})$. Слагаемые $1$ и $\frac{a^2}{bc}$ положительны. Применим к ним неравенство о средних:

$1 + \frac{a^2}{bc} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{a^2}{bc}} = 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} = \frac{2a}{\sqrt{bc}}$

2. Рассмотрим второй множитель: $(1+\frac{b^2}{ac})$. Слагаемые $1$ и $\frac{b^2}{ac}$ положительны. Применим к ним неравенство о средних:

$1 + \frac{b^2}{ac} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{b^2}{ac}} = 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} = \frac{2b}{\sqrt{ac}}$

3. Рассмотрим третий множитель: $(1+\frac{c^2}{ab})$. Слагаемые $1$ и $\frac{c^2}{ab}$ положительны. Применим к ним неравенство о средних:

$1 + \frac{c^2}{ab} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{c^2}{ab}} = 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} = \frac{2c}{\sqrt{ab}}$

Мы получили три верных неравенства. Поскольку все части этих неравенств положительны (так как $a, b, c > 0$), мы можем их почленно перемножить:

$(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge \left(\frac{2a}{\sqrt{bc}}\right) \cdot \left(\frac{2b}{\sqrt{ac}}\right) \cdot \left(\frac{2c}{\sqrt{ab}}\right)$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$\frac{2a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{2b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot c}{\sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{8abc}{\sqrt{b \cdot c \cdot a \cdot c \cdot a \cdot b}} = \frac{8abc}{\sqrt{a^2 b^2 c^2}}$

Так как $a,b,c > 0$, то $\sqrt{a^2 b^2 c^2} = abc$. Следовательно, правая часть равна:

$\frac{8abc}{abc} = 8$

Таким образом, мы приходим к искомому неравенству:

$(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge 8$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \ge 8$ доказано.

1027. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если а — наибольшее число в пропорции ab = cd, где а, b, c, d — положительные числа, то верно неравенство

a + d > b + c.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\backslash frac\{a\}\{b\}=\backslash frac\{c\}\{d\}$, a>0, b>0, c>0, d>0

Пусть $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k,$ тогда a=kb, c=kd

$$\begin{gathered} a+d>b+c \\ (a+d)-(b+c)=kb+d-b-kd= \\ =(kb-b)+(d-kd)=b(k-1)+d (1-k)= \\ =b(k-1)-d(k-1)=(k-1)(b-d) \end{gathered}$$

Докажем, что (k-1)(b-d)>0

Так как а - наибольшее число, то $\frac{a}{b}>1; k>1; k-1>0$

Используя основное свойство пропорции, получим $ad=bcad=bc$ и так как а - наибольшее число, то d - наименьшее число, значит $b-d>0$

Так как $k-1>0k-1>0$ и $b-d>0$, то $\left(k-1\right)\left(b-d\right)>0.$ Следовательно, $a+d>b+ca+d\; >\; b+c$

По условию задачи нам дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — положительные числа. Также известно, что $a$ является наибольшим из этих чисел. Нам нужно доказать, что выполняется неравенство $a + d > b + c$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$. Из этого равенства мы можем выразить $a$ и $c$ через $b$ и $d$ соответственно: $a = kb$ $c = kd$

Используем условие, что $a$ — наибольшее число. В частности, $a > b$. Подставим выражение для $a$: $kb > b$ Поскольку $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $b$, не меняя его знака: $k > 1$

Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в доказываемое неравенство $a + d > b + c$: $kb + d > b + kd$

Преобразуем это неравенство, сгруппировав члены с $k$ в одной части, а остальные — в другой: $kb - kd > b - d$ Вынесем общий множитель $k$ за скобки в левой части: $k(b-d) > b-d$

Чтобы продолжить, нам нужно определить знак выражения $(b-d)$. Снова воспользуемся тем, что $a$ — наибольшее число. В частности, $a > c$. Подставим выражения для $a$ и $c$: $kb > kd$ Мы уже установили, что $k > 1$, значит $k$ — положительное число. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $k$, не меняя знака: $b > d$ Следовательно, разность $(b-d)$ является положительным числом, то есть $b-d > 0$.

Вернемся к неравенству $k(b-d) > b-d$. Так как мы доказали, что $(b-d) > 0$, мы можем разделить обе части этого неравенства на положительное число $(b-d)$, сохранив знак неравенства: $k > 1$

Мы пришли к неравенству $k > 1$, истинность которого была установлена ранее из условия $a > b$. Поскольку все наши преобразования были равносильными, это доказывает, что исходное неравенство $a + d > b + c$ также верно.

Ответ: Неравенство $a + d > b + c$ доказано.

1028. Известно, что 12 ≤ y ≤ 16. Оцените значение выражения:

12≤y≤16

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} 12\le y\le 16 \\ 12·\left(-\mathrm{0,5}\right)\ge -\mathrm{0,5}y\ge -\mathrm{0,5}·16 \\ -6\ge -\mathrm{0,5}y\ge -8 \\ -8\le -\mathrm{0,5}y\le -6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}12·\left(-2\right)\ge -2y\ge 16·\left(-2\right) \\ -24\ge -2y\ge -32 \\ -32\le -2y\le -24 \\ -32+42\le 42-2y\le -24+42 \\ 10\le 42-2y\le 18 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{1}{12}\ge \frac{1}{y}\ge \frac{1}{16} \\ \frac{1}{16}\le \frac{1}{y}\le \frac{1}{12} \\ 2\frac{1}{16}\le \frac{1}{y}+2\le 2\frac{1}{12} \end{gathered}$$

а) Нам дано неравенство $12 \le y \le 16$. Чтобы оценить выражение $-0,5y$, умножим все части этого двойного неравенства на $-0,5$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$12 \cdot (-0,5) \ge -0,5y \ge 16 \cdot (-0,5)$
$-6 \ge -0,5y \ge -8$
Для удобства записи поменяем местами левую и правую части, чтобы неравенство было записано от меньшего числа к большему:
$-8 \le -0,5y \le -6$
Ответ: $-8 \le -0,5y \le -6$.

б) Чтобы оценить выражение $42 - 2y$, выполним преобразования с исходным неравенством $12 \le y \le 16$.
Сначала умножим все части на $-2$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$12 \cdot (-2) \ge -2y \ge 16 \cdot (-2)$
$-24 \ge -2y \ge -32$
Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-32 \le -2y \le -24$
Теперь прибавим ко всем частям неравенства число 42:
$42 - 32 \le 42 - 2y \le 42 - 24$
$10 \le 42 - 2y \le 18$
Ответ: $10 \le 42 - 2y \le 18$.

в) Для оценки выражения $\frac{1}{y} + 2$ начнем с неравенства $12 \le y \le 16$.
Поскольку все части неравенства положительны ($y > 0$), мы можем найти обратные им величины. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{12} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{16}$
Запишем в стандартном виде:
$\frac{1}{16} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{12}$
Теперь прибавим ко всем частям число 2:
$2 + \frac{1}{16} \le 2 + \frac{1}{y} \le 2 + \frac{1}{12}$
$2\frac{1}{16} \le 2 + \frac{1}{y} \le 2\frac{1}{12}$
Ответ: $2\frac{1}{16} \le \frac{1}{y} + 2 \le 2\frac{1}{12}$.

1029. Оцените значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} -3<b<-2 \\ -6<2b<-4 \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l} 0<a<1\\ -6<2b<-4\end{array}\\ & \overline{-6<a+2b<-3}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 7<a<10 \\ \frac{1}{2}·7<\frac{1}{2}a<\frac{1}{2}·10 \\ 3,5<\frac{1}{2}a<5 \\ 14<b<15 \\ -15<-b<-14 \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l} 3,5<\frac{1}{2}a<5\\ -15<-b<-14\end{array}\\ & \overline{-11,5<\frac{1}{2}a-b<-9}\end{array} \end{gathered}$$

а)

Даны неравенства: $0 < a < 1$ и $-3 < b < -2$.
Чтобы оценить значение выражения $a + 2b$, нам нужно сначала оценить значение слагаемого $2b$. Для этого умножим все части неравенства для $b$ на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-3) < 2 \cdot b < 2 \cdot (-2)$

$-6 < 2b < -4$

Теперь у нас есть два неравенства, которые мы можем сложить почленно, так как они имеют одинаковый знак (<):

$0 < a < 1$
$-6 < 2b < -4$

Складываем левые, средние и правые части соответственно:

$0 + (-6) < a + 2b < 1 + (-4)$

$-6 < a + 2b < -3$

Ответ: $-6 < a + 2b < -3$

б)

Даны неравенства: $7 < a < 10$ и $14 < b < 15$.
Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{2}a - b$, представим его в виде суммы $\frac{1}{2}a + (-b)$ и оценим каждое слагаемое по отдельности.

Сначала оценим $\frac{1}{2}a$. Умножим все части неравенства $7 < a < 10$ на положительное число $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot 7 < \frac{1}{2}a < \frac{1}{2} \cdot 10$

$3,5 < \frac{1}{2}a < 5$

Теперь оценим $-b$. Умножим все части неравенства $14 < b < 15$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 14 > -1 \cdot b > -1 \cdot 15$

$-14 > -b > -15$

Для удобства дальнейшего сложения запишем это неравенство в порядке возрастания:

$-15 < -b < -14$

Теперь сложим почленно полученные неравенства для $\frac{1}{2}a$ и $-b$:

$3,5 + (-15) < \frac{1}{2}a + (-b) < 5 + (-14)$

$3,5 - 15 < \frac{1}{2}a - b < 5 - 14$

$-11,5 < \frac{1}{2}a - b < -9$

Ответ: $-11,5 < \frac{1}{2}a - b < -9$

1030. Оцените длину средней линии треугольника АВС, которая параллельна стороне АВ, если 10,4 ‹ AB ‹ 10,5.

Пусть $m$ — это длина средней линии треугольника $ABC$, которая параллельна стороне $AB$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, для средней линии, параллельной стороне $AB$, её длина $m$ вычисляется по формуле:

$m = \frac{1}{2} \cdot AB$

Из условия задачи мы знаем, что длина стороны $AB$ находится в следующих пределах:

$10,4 < AB < 10,5$

Чтобы найти диапазон значений для длины средней линии $m$, мы можем применить операцию деления на 2 ко всем частям данного двойного неравенства:

$\frac{10,4}{2} < \frac{AB}{2} < \frac{10,5}{2}$

Подставив $m$ вместо $\frac{AB}{2}$, получим:

$5,2 < m < 5,25$

Следовательно, длина средней линии треугольника, параллельной стороне $AB$, больше 5,2, но меньше 5,25.

Ответ: длина средней линии находится в интервале $(5,2; 5,25)$, то есть $5,2 < m < 5,25$.

1031. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями а см и с см, если 3,4 ≤ a ≤ 3,5 и 6,2 ≤ c ≤ 6,3.

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3,4\le a\le 3,5\\ 6,2\le c\le 6,3\end{array}\\ & \overline{9,6\le a+c\le 9,8}\end{array} \\ 4,8\le \frac{a+c}{2}\le 4,9 \end{gathered}$$

Пусть $m$ - это длина средней линии трапеции. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований, которые обозначены как $a$ и $c$. Формула для ее вычисления выглядит следующим образом:

$m = \frac{a+c}{2}$

Согласно условию задачи, у нас есть следующие неравенства для оснований:

$3,4 \le a \le 3,5$

$6,2 \le c \le 6,3$

Чтобы оценить возможные значения для $m$, нам сначала нужно оценить сумму оснований $a+c$. Для этого мы можем сложить два данных неравенства, так как они одного знака. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми:

$3,4 + 6,2 \le a + c \le 3,5 + 6,3$

Вычисляем суммы:

$9,6 \le a + c \le 9,8$

Теперь, когда у нас есть оценка для суммы $a+c$, мы можем найти оценку для средней линии $m$, разделив все части полученного двойного неравенства на 2:

$\frac{9,6}{2} \le \frac{a+c}{2} \le \frac{9,8}{2}$

Вычисляем значения:

$4,8 \le m \le 4,9$

Таким образом, длина средней линии трапеции находится в промежутке от 4,8 см до 4,9 см включительно.

Ответ: $4,8 \le m \le 4,9$.

1032. а) Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9? Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?

б) Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число; наименьшее число?

a) 40,9 ∈ [8; 41)

40,99 ∈ (8; 41)

б) В промежутке [8; 41) наибольшего числа не существует; 8 - наименьшее число

а)

Данный промежуток $[8; 41)$ включает в себя все числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $8 \le x < 41$. Это полуинтервал, замкнутый слева и открытый справа.

1. Принадлежит ли число 40,9 промежутку $[8; 41)$?
Чтобы определить это, необходимо проверить, выполняется ли для числа 40,9 неравенство $8 \le 40,9 < 41$.
Неравенство $8 \le 40,9$ верно.
Неравенство $40,9 < 41$ также верно.
Так как оба условия выполняются, число 40,9 принадлежит промежутку $[8; 41)$.

2. Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?
Да, можно. Нам нужно найти число $y$, которое удовлетворяет условиям $y > 40,9$ и $8 \le y < 41$. Объединив эти условия, получаем, что нужно найти число $y$ в интервале $(40,9; 41)$.
Между любыми двумя различными действительными числами всегда существует бесконечно много других чисел. Например, можно найти среднее арифметическое чисел 40,9 и 41: $y = \frac{40,9 + 41}{2} = \frac{81,9}{2} = 40,95$.
Число 40,95 больше 40,9 и меньше 41, следовательно, оно принадлежит заданному промежутку $[8; 41)$.

Ответ: Да, число 40,9 принадлежит промежутку $[8; 41)$. Да, можно указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку, например, 40,95.

б)

Промежуток $[8; 41]$ — это замкнутый отрезок, который включает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $8 \le x \le 41$.

Существует ли в промежутке $[8; 41]$ наибольшее число?
Да, существует. Поскольку правая граница промежутка включена (обозначается квадратной скобкой, неравенство $x \le 41$ нестрогое), наибольшим числом в этом промежутке является его правая граница. Наибольшее число равно 41.

Существует ли в промежутке $[8; 41]$ наименьшее число?
Да, существует. Поскольку левая граница промежутка включена (обозначается квадратной скобкой, неравенство $x \ge 8$ нестрогое), наименьшим числом в этом промежутке является его левая граница. Наименьшее число равно 8.

Ответ: Да, в промежутке $[8; 41]$ существует наибольшее число, равное 41, и наименьшее число, равное 8.

1033. а) Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку?

б) Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число; наибольшее число?

a) 7,01 ∈ (7; 17]

7,001 ∈ (7; 17]

б) В промежутке (7; 17] наименьшего числа не существует, 17 - наибольшее число

а) Промежуток $(7; 17]$ представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство $7 < x \le 17$.

1. Чтобы определить, принадлежит ли число $7,01$ этому промежутку, проверим, удовлетворяет ли оно этому неравенству: $7 < 7,01 \le 17$.
Поскольку $7,01$ действительно больше $7$ и одновременно меньше или равно $17$, неравенство является верным. Значит, число $7,01$ принадлежит промежутку $(7; 17]$.

2. Чтобы найти число, меньшее чем $7,01$ и принадлежащее этому же промежутку, нам нужно найти такое число $y$, для которого выполняются условия $7 < y \le 17$ и $y < 7,01$. Эти условия можно объединить в одно: $7 < y < 7,01$.
Между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много других чисел. Например, мы можем взять среднее арифметическое чисел $7$ и $7,01$: $y = \frac{7 + 7,01}{2} = \frac{14,01}{2} = 7,005$. Число $7,005$ удовлетворяет условию $7 < 7,005 < 7,01$, следовательно, оно меньше $7,01$ и принадлежит промежутку $(7; 17]$. Другими примерами могут быть числа $7,001$, $7,002$ и так далее.
Ответ: Да, число $7,01$ принадлежит промежутку $(7; 17]$. Да, можно указать число, меньшее чем $7,01$, принадлежащее этому промежутку, например, $7,005$.

б) Рассмотрим вопрос о существовании наименьшего и наибольшего чисел в промежутке $(7; 17]$.

1. Наименьшее число. Левая граница промежутка, число $7$, не включена в него, что обозначается круглой скобкой и соответствует строгому неравенству $x > 7$. Это означает, что любое число в промежутке должно быть строго больше $7$. Если мы предположим, что в этом промежутке существует наименьшее число, назовем его $m$, то для него должно выполняться $m > 7$. Но тогда число $k = \frac{7+m}{2}$ (среднее арифметическое $7$ и $m$) будет удовлетворять неравенству $7 < k < m$. Таким образом, мы нашли число $k$, которое также принадлежит промежутку $(7; 17]$, но при этом оно меньше $m$. Это противоречит нашему предположению, что $m$ — наименьшее число. Такой процесс можно продолжать бесконечно, всегда находя число, которое еще ближе к $7$. Следовательно, наименьшего числа в промежутке $(7; 17]$ не существует.

2. Наибольшее число. Правая граница промежутка, число $17$, включена в него, что обозначается квадратной скобкой и соответствует нестрогому неравенству $x \le 17$. Это означает, что любое число $x$ из данного промежутка не может быть больше $17$. Само число $17$ удовлетворяет условию $7 < 17 \le 17$ и, следовательно, принадлежит промежутку. Так как все остальные числа промежутка меньше $17$, то $17$ и является наибольшим числом в этом промежутке.
Ответ: В промежутке $(7; 17]$ наименьшего числа не существует; наибольшее число существует и равно $17$.

1034. Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку:

а) [12; 37];

б) [8; 13);

в) (11; 14);

г) (3; 19].

a) [12; 37]

12 - наименьшее число

37 - наибольшее число

б) [8; 13)

8 - наименьшее число

Наибольшего числа не существует

в) (11; 14)

Наибольшего и наименьшего числа не существует

г) (3; 19]

Наименьшего числа не существует,

19 - наибольшее число

а) Промежуток $[12; 37]$ представляет собой отрезок. Это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $12 \le x \le 37$. Квадратные скобки означают, что концы промежутка (числа 12 и 37) включаются в множество. Следовательно, наименьшее число в этом промежутке — это его левая граница, а наибольшее — правая.
Наименьшее число: 12.
Наибольшее число: 37.
Ответ: наименьшее число — 12, наибольшее число — 37.

б) Промежуток $[8; 13)$ представляет собой полуинтервал. Это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $8 \le x < 13$. Квадратная скобка слева означает, что число 8 принадлежит промежутку. Круглая скобка справа означает, что число 13 не принадлежит промежутку. Таким образом, наименьшее число существует и равно 8. Однако наибольшего числа в этом промежутке не существует. К числу 13 можно подойти сколь угодно близко (например, 12,9; 12,99; 12,999 и так далее), но само число 13 в промежуток не входит. Для любого числа из этого промежутка можно найти другое число, которое также принадлежит промежутку, но больше исходного.
Наименьшее число: 8.
Наибольшее число: не существует.
Ответ: наименьшее число — 8, наибольшего числа не существует.

в) Промежуток $(11; 14)$ представляет собой интервал. Это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $11 < x < 14$. Круглые скобки означают, что концы промежутка (числа 11 и 14) не принадлежат этому множеству. В этом случае не существует ни наименьшего, ни наибольшего числа. К левой границе 11 можно подходить сколь угодно близко с бoльшими числами, но самого наименьшего числа в промежутке нет. Аналогично, к правой границе 14 можно подходить сколь угодно близко с меньшими числами, но наибольшего числа в промежутке нет.
Наименьшее число: не существует.
Наибольшее число: не существует.
Ответ: наименьшего и наибольшего чисел не существует.

г) Промежуток $(3; 19]$ представляет собой полуинтервал. Это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $3 < x \le 19$. Круглая скобка слева означает, что число 3 не принадлежит промежутку. Квадратная скобка справа означает, что число 19 принадлежит промежутку. Следовательно, наименьшего числа в этом промежутке не существует (можно подходить к числу 3 сколь угодно близко, например: 3,1; 3,01; 3,001 и т.д.), а наибольшее число существует и равно 19.
Наименьшее число: не существует.
Наибольшее число: 19.
Ответ: наименьшего числа не существует, наибольшее число — 19.

1035. Верно ли, что:

а) $\left(-5; 5\right)\cap \left(-3; 2\right)=\left(-3; 2\right)$

Ответ: верно

б) $\left(4; 11\right)\cup \left(0; 6\right)=\left(4; 6\right)(4;11)\; \backslash cup\; (0;6)=(4;6)$

$\left(4; 11\right)\cup \left(0; 6\right)=\left(0; 11\right)\mathrm{\ne }\left(4; 6\right)(4;11)\; \backslash cup\; (0;6)=(0;11)\; \backslash neq\; (4;6)$

Ответ: неверно

в) $\left(-\mathrm{\infty }; 4\right)\cup \left(1; +\mathrm{\infty }\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right)(-\backslash infty;4)\; \backslash cup\; (1;+\backslash infty)=(-\backslash infty;+\backslash infty)$

Ответ: верно

г) $\left(-\mathrm{\infty }; 2\right)\cap \left(-2; +\mathrm{\infty }\right)=\left(-2; 2\right)(-\backslash infty;2)\; \backslash cap\; (-2;+\backslash infty)=(-2;2)$

Ответ: верно

а) Требуется проверить истинность равенства $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2)$.

Знак $\cap$ обозначает операцию пересечения множеств. Результатом пересечения двух интервалов является новый интервал, содержащий все числа, которые принадлежат обоим исходным интервалам одновременно.

Первый интервал $(-5; 5)$ представляет собой множество всех чисел $x$, таких что $-5 < x < 5$.
Второй интервал $(-3; 2)$ представляет собой множество всех чисел $x$, таких что $-3 < x < 2$.

Чтобы найти пересечение, нужно решить систему неравенств:
$ \begin{cases} -5 < x < 5 \\ -3 < x < 2 \end{cases} $
Общим решением этой системы является интервал, где оба неравенства выполняются. Это происходит, когда $x$ больше, чем большее из левых границ ( $\max(-5, -3) = -3$ ), и меньше, чем меньшее из правых границ ( $\min(5, 2) = 2$ ).
Таким образом, $ -3 < x < 2 $, что соответствует интервалу $(-3; 2)$.
Равенство в условии задачи верно.

Ответ: да, верно.

б) Требуется проверить истинность равенства $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6)$.

Знак $\cup$ обозначает операцию объединения множеств. Результатом объединения двух интервалов является множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из исходных интервалов.

Первый интервал $(4; 11)$ — это множество чисел $x$ таких, что $4 < x < 11$.
Второй интервал $(0; 6)$ — это множество чисел $x$ таких, что $0 < x < 6$.

Объединение этих двух интервалов включает все числа из первого интервала и все числа из второго. Поскольку эти интервалы перекрываются (на участке от 4 до 6), их объединение будет представлять собой один сплошной интервал, начинающийся с наименьшей границы (0) и заканчивающийся наибольшей границей (11).
То есть, $(4; 11) \cup (0; 6) = (0; 11)$.
В условии задачи указан результат $(4; 6)$, который является пересечением этих интервалов, а не их объединением. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) Требуется проверить истинность равенства $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Мы находим объединение двух лучей. Первый интервал $(-\infty; 4)$ — это все числа $x$, такие что $x < 4$.
Второй интервал $(1; +\infty)$ — это все числа $x$, такие что $x > 1$.

Объединение этих множеств будет содержать все числа, которые меньше 4, а также все числа, которые больше 1. Поскольку эти два луча перекрываются (на интервале $(1; 4)$), их объединение покроет всю числовую прямую. Любое действительное число попадает хотя бы в один из этих интервалов.
Например, число $0 < 4$, число $5 > 1$, число $3$ удовлетворяет обоим условиям. Таким образом, объединение $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty)$ дает множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.
Равенство в условии задачи верно.

Ответ: да, верно.

г) Требуется проверить истинность равенства $(-\infty; 2) \cap (-2; +\infty) = (-2; 2)$.

Мы находим пересечение двух числовых лучей. Первый интервал $(-\infty; 2)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $x < 2$.
Второй интервал $(-2; +\infty)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $x > -2$.

Пересечение этих множеств содержит числа $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x < 2$ и $x > -2$.
Эту систему неравенств можно записать в виде двойного неравенства: $-2 < x < 2$.
Это неравенство определяет интервал $(-2; 2)$.
Равенство в условии задачи верно.

Ответ: да, верно.