Номер 1027, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1027, страница 229.

1027. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если а — наибольшее число в пропорции ab = cd, где а, b, c, d — положительные числа, то верно неравенство

a + d > b + c.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\backslash frac\{a\}\{b\}=\backslash frac\{c\}\{d\}$, a>0, b>0, c>0, d>0

Пусть $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k,$ тогда a=kb, c=kd

$$\begin{gathered} a+d>b+c \\ (a+d)-(b+c)=kb+d-b-kd= \\ =(kb-b)+(d-kd)=b(k-1)+d (1-k)= \\ =b(k-1)-d(k-1)=(k-1)(b-d) \end{gathered}$$

Докажем, что (k-1)(b-d)>0

Так как а - наибольшее число, то $\frac{a}{b}>1; k>1; k-1>0$

Используя основное свойство пропорции, получим $ad=bcad=bc$ и так как а - наибольшее число, то d - наименьшее число, значит $b-d>0$

Так как $k-1>0k-1>0$ и $b-d>0$, то $\left(k-1\right)\left(b-d\right)>0.$ Следовательно, $a+d>b+ca+d\; >\; b+c$

По условию задачи нам дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — положительные числа. Также известно, что $a$ является наибольшим из этих чисел. Нам нужно доказать, что выполняется неравенство $a + d > b + c$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$. Из этого равенства мы можем выразить $a$ и $c$ через $b$ и $d$ соответственно: $a = kb$ $c = kd$

Используем условие, что $a$ — наибольшее число. В частности, $a > b$. Подставим выражение для $a$: $kb > b$ Поскольку $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $b$, не меняя его знака: $k > 1$

Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в доказываемое неравенство $a + d > b + c$: $kb + d > b + kd$

Преобразуем это неравенство, сгруппировав члены с $k$ в одной части, а остальные — в другой: $kb - kd > b - d$ Вынесем общий множитель $k$ за скобки в левой части: $k(b-d) > b-d$

Чтобы продолжить, нам нужно определить знак выражения $(b-d)$. Снова воспользуемся тем, что $a$ — наибольшее число. В частности, $a > c$. Подставим выражения для $a$ и $c$: $kb > kd$ Мы уже установили, что $k > 1$, значит $k$ — положительное число. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $k$, не меняя знака: $b > d$ Следовательно, разность $(b-d)$ является положительным числом, то есть $b-d > 0$.

Вернемся к неравенству $k(b-d) > b-d$. Так как мы доказали, что $(b-d) > 0$, мы можем разделить обе части этого неравенства на положительное число $(b-d)$, сохранив знак неравенства: $k > 1$

Мы пришли к неравенству $k > 1$, истинность которого была установлена ранее из условия $a > b$. Поскольку все наши преобразования были равносильными, это доказывает, что исходное неравенство $a + d > b + c$ также верно.

Ответ: Неравенство $a + d > b + c$ доказано.