Номер 1023, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1023, страница 228.

1023. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

Пусть a и b - стороны прямоугольника, с - сторона квадрата. По условию задачи $\left(a+b\right)·2=4c$

$a+b=2c$

$\frac{a+b}{2}=c$ - сторона квадрата

$S_{\text{прям}}=ab; S_{\text{кв}}=c^2={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

Сравним ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2 \text{и} ab$

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2}\ge \sqrt{ab} \\ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} \end{gathered}$$

Ответ: ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$, т.е. площадь квадрата больше или равна площади произвольного прямоугольника

Для сравнения площади квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр, введем общие обозначения. Пусть задан периметр $P$.

Сначала рассмотрим квадрат. Если его периметр равен $P$, то длина каждой его стороны $a_{кв}$ составляет:

$a_{кв} = \frac{P}{4}$

Площадь этого квадрата, $S_{кв}$, равна:

$S_{кв} = a_{кв}^2 = (\frac{P}{4})^2 = \frac{P^2}{16}$

Теперь рассмотрим произвольный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и таким же периметром $P$. Для него выполняется равенство:

$2(a+b) = P$

Отсюда сумма смежных сторон прямоугольника равна $a+b = \frac{P}{2}$. Площадь прямоугольника, $S_{пр}$, вычисляется как $S_{пр} = a \cdot b$.

Чтобы сравнить площади, выразим стороны прямоугольника $a$ и $b$ через их среднее арифметическое $\frac{a+b}{2} = \frac{P/2}{2} = \frac{P}{4}$ и некоторое отклонение $d$ от этого среднего. Стороны можно представить в виде:

$a = \frac{P}{4} + d$

$b = \frac{P}{4} - d$

При такой записи их сумма $a+b = (\frac{P}{4} + d) + (\frac{P}{4} - d) = \frac{P}{2}$, что соответствует условию. Если отклонение $d=0$, то $a=b=\frac{P}{4}$, и прямоугольник является квадратом. Если $d \neq 0$, то это прямоугольник, отличный от квадрата.

Теперь найдем площадь прямоугольника, используя эти выражения для сторон и применяя формулу разности квадратов:

$S_{пр} = a \cdot b = (\frac{P}{4} + d)(\frac{P}{4} - d) = (\frac{P}{4})^2 - d^2$

Мы получили выражения для обеих площадей:

$S_{кв} = (\frac{P}{4})^2$

$S_{пр} = (\frac{P}{4})^2 - d^2$

Найдем разность между площадью квадрата и площадью прямоугольника:

$S_{кв} - S_{пр} = (\frac{P}{4})^2 - ((\frac{P}{4})^2 - d^2) = d^2$

Поскольку $d^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда является неотрицательной величиной ($d^2 \ge 0$), то и разность $S_{кв} - S_{пр}$ всегда больше или равна нулю. Это доказывает, что $S_{кв} \ge S_{пр}$.

Равенство площадей ($S_{кв} = S_{пр}$) достигается только тогда, когда $d^2 = 0$, то есть при $d=0$. Это случай, когда прямоугольник является квадратом. Во всех остальных случаях, когда прямоугольник не является квадратом ($d \ne 0$), его площадь строго меньше площади квадрата с тем же периметром.

Ответ: Площадь квадрата всегда больше или равна площади произвольного прямоугольника с тем же периметром. Равенство площадей достигается только в том случае, если этот прямоугольник сам является квадратом.