Номер 1017, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1017, страница 227.

1017. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2+b^2+2\ge 2\left(a+b\right) \\ {a}^2+b^2+2-2a-2b=\left(a^2-2a+1\right)+ \\ +\left(b^2-2b+1\right)={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{a}^2+b^2+c^2+5>2\left(a+b+c\right) \\ {a}^2+b^2+c^2+5-2a-2b-2c= \\ =\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)+2= \\ ={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2+2>0 \end{gathered}$$

а) Докажем неравенство $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b)$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 + b^2 + 2 - 2(a + b) \ge 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Представим $2$ как $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Теперь свернем каждую скобку по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство истинно для любых значений $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом ($(a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 1)^2 \ge 0$), а сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c)$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2(a + b + c) > 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2a - 2b - 2c > 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов. Для этого представим число $5$ как $1 + 1 + 1 + 2$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) + 2 > 0$

Свернем скобки по формуле квадрата разности:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2 > 0$

Выражения $(a - 1)^2$, $(b - 1)^2$ и $(c - 1)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому каждое из них не может быть отрицательным: $(a - 1)^2 \ge 0$, $(b - 1)^2 \ge 0$, $(c - 1)^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма также неотрицательна:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0$

Прибавив к этой сумме положительное число $2$, мы получим выражение, которое всегда будет строго больше нуля:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2 \ge 2$, а так как $2 > 0$, то и все выражение строго положительно. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.