Номер 1014, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1014, страница 227.

1014. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(6y-1\right)\left(y+2\right)<\left(3y+4\right)\left(2y+1\right) \\ 6y^2+12y-y-2<6y^2+3y+8y+4 \\ 6y^2-6y^2+12y-3y-y-8y-2-4=-6<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(3y-1\right)\left(2y+1\right)>\left(2y-1\right)\left(2+3y\right) \\ 6y^2+3y-2y-1>4y+6y^2-2-3y \\ 6y^2+y-6y^2-y-1+2=1>0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства неравенства $ (6y - 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1) $ необходимо выполнить тождественные преобразования. Сначала раскроем скобки в левой и правой частях.

Преобразуем левую часть неравенства:

$ (6y - 1)(y + 2) = 6y \cdot y + 6y \cdot 2 - 1 \cdot y - 1 \cdot 2 = 6y^2 + 12y - y - 2 = 6y^2 + 11y - 2 $.

Преобразуем правую часть неравенства:

$ (3y + 4)(2y + 1) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot 1 + 4 \cdot 2y + 4 \cdot 1 = 6y^2 + 3y + 8y + 4 = 6y^2 + 11y + 4 $.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$ 6y^2 + 11y - 2 < 6y^2 + 11y + 4 $.

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $ 6y^2 + 11y $:

$ (6y^2 + 11y - 2) - (6y^2 + 11y) < (6y^2 + 11y + 4) - (6y^2 + 11y) $.

$ -2 < 4 $.

В результате преобразований мы получили верное числовое неравенство, не зависящее от переменной $ y $. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $ y $.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $ (3y - 1)(2y + 1) > (2y - 1)(2 + 3y) $ также раскроем скобки в обеих частях.

Преобразуем левую часть:

$ (3y - 1)(2y + 1) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot 1 - 1 \cdot 2y - 1 \cdot 1 = 6y^2 + 3y - 2y - 1 = 6y^2 + y - 1 $.

Преобразуем правую часть:

$ (2y - 1)(2 + 3y) = 2y \cdot 2 + 2y \cdot 3y - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3y = 4y + 6y^2 - 2 - 3y = 6y^2 + y - 2 $.

Подставим полученные многочлены в исходное неравенство:

$ 6y^2 + y - 1 > 6y^2 + y - 2 $.

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $ 6y^2 + y $:

$ (6y^2 + y - 1) - (6y^2 + y) > (6y^2 + y - 2) - (6y^2 + y) $.

$ -1 > -2 $.

Мы получили верное числовое неравенство $ -1 > -2 $, которое не зависит от переменной $ y $. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $ y $.

Ответ: Неравенство доказано.