Номер 1010, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Доказательство неравенств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 1010, страница 226.

1010. Докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство

$$\begin{gathered} \frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \\ \underline{\begin{array}{cc} & \frac{1}{a+b}>\frac{1}{a+b+c}\\ +& \frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}\\ & \frac{1}{c+a}>\frac{1}{a+b+c}\end{array}} \\ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+ \\ +\frac{1}{a+b+c} \end{gathered}$$

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{3}{a+b+c}$ при a>0, b>0, c>0

Для доказательства данного неравенства воспользуемся тем, что по условию переменные $a$, $b$ и $c$ являются положительными числами, то есть $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$.

Сравним знаменатель дроби в левой части неравенства, $a+b+c$, с каждым из знаменателей в правой части.

1. Поскольку $c > 0$, сумма $a+b$ строго меньше суммы $a+b+c$:

$a+b < a+b+c$

Так как обе части этого неравенства положительны, при взятии обратных величин знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c}$

2. Аналогично, поскольку $a > 0$, имеем:

$b+c < a+b+c$

Отсюда следует:

$\frac{1}{b+c} > \frac{1}{a+b+c}$

3. И поскольку $b > 0$, имеем:

$c+a < a+b+c$

Отсюда следует:

$\frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c}$

Теперь сложим три полученных строгих неравенства:

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c}$

Сумма дробей в правой части равна:

$\frac{1+1+1}{a+b+c} = \frac{3}{a+b+c}$

Таким образом, мы получаем итоговое неравенство:

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} > \frac{3}{a+b+c}$

Это неравенство эквивалентно тому, которое требовалось доказать. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.