Номер 1020, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1020, страница 228.

1020. (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

2) Введите обозначения:

x км/ч — скорость лодки в стоячей воде;

y км/ч и z км/ч — скорости течения первой и второй рек;

s км — расстояние, на которое отплывала лодка.

3) Запишите формулы для вычисления времени t₁ ч и t₂ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

4) Найдите разность t₁ – t₂ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

x км/ч - скорость лодки в стоячей воде, y км/ч и z км/ч - скорости течения первой и второй рек, причём z>y

S км - расстояние, на которое отплывала лодка

$$\begin{gathered} t_1=\left(\frac{s}{x-y}+\frac{s}{x+y}\right)\text{ч} \\ {t}_2=\left(\frac{s}{x-z}+\frac{s}{x+z}\right)\text{ч} \\ {t}_1-t_2=\left(\frac{s}{x-y}+\frac{s}{x+y}\right)-\left(\frac{s}{x-z}+\frac{s}{x+z}\right)= \\ =\frac{s\left(x+y\right)+s\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{s\left(x+z\right)+s\left(x-z\right)}{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}= \\ =\frac{sx+sy+sx-sy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{sx+sz+sx-sz}{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}= \\ =\frac{2sx}{x^2-y^2}-\frac{2sx}{x^2-z^2}=2sx\left(\frac{1}{x^2-y^2}-\frac{1}{x^2-z^2}\right)= \\ =2sx\frac{x^2-z^2-x^2+y^2}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2-z^2\right)}= \\ =2sx\frac{y^2-z^2}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2-z^2\right)}<0 \end{gathered}$$

Т.к. z>y. Получим, что , значит,

Ответ: во второй день

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

На первый взгляд может показаться, что более быстрое течение помогает на пути по течению ровно настолько же, насколько мешает на пути против течения, и общее время не изменится. Однако лодка движется против течения дольше, чем по течению. Увеличение скорости течения сильнее скажется на времени движения против течения (увеличив его), чем на времени движения по течению (уменьшив его). Поэтому можно предположить, что общее время в пути окажется больше в тот день, когда течение реки было быстрее.

Ответ: Предположительно, во второй день, когда река была более быстрой, лодка затратила на весь путь больше времени.

2) Введите обозначения:

Согласно условию задачи, используем следующие обозначения: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек соответственно; $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка в одну сторону.

Из условия, что вторая река "более быстрая", следует, что $z > y$. Также для того, чтобы лодка могла вернуться обратно, двигаясь против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > z$ (а следовательно, и $x > y$).

Ответ: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек, где $z > y$; $s$ км — расстояние в одну сторону.

3) Запишите формулы для вычисления времени t? и t? ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

Общее время в пути равно сумме времени, затраченного на путь по течению и против течения. Время вычисляется по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

В первый день (скорость течения $y$):
Скорость по течению: $v_{по1} = x + y$. Время: $t_{по1} = \frac{s}{x+y}$.
Скорость против течения: $v_{против1} = x - y$. Время: $t_{против1} = \frac{s}{x-y}$.
Общее время $t_1 = t_{по1} + t_{против1} = \frac{s}{x+y} + \frac{s}{x-y}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $t_1 = s \left( \frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} \right) = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$.

Во второй день (скорость течения $z$):
Скорость по течению: $v_{по2} = x + z$. Время: $t_{по2} = \frac{s}{x+z}$.
Скорость против течения: $v_{против2} = x - z$. Время: $t_{против2} = \frac{s}{x-z}$.
Общее время $t_2 = t_{по2} + t_{против2} = \frac{s}{x+z} + \frac{s}{x-z}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $t_2 = s \left( \frac{x-z+x+z}{(x+z)(x-z)} \right) = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$.

Ответ: Формулы для вычисления времени: $t_1 = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$ ч и $t_2 = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$ ч.

4) Найдите разность t? ? t? и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

Найдем разность времени $t_1$ и $t_2$, используя формулы из предыдущего пункта:
$t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2 - y^2} - \frac{2sx}{x^2 - z^2}$.

Вынесем общий множитель $2sx$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:
$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{1}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x^2 - z^2} \right) = 2sx \left( \frac{(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} \right)$.

Упростим выражение в числителе дроби:
$(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2) = x^2 - z^2 - x^2 + y^2 = y^2 - z^2$.

Таким образом, разность времен равна:
$t_1 - t_2 = \frac{2sx(y^2 - z^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$.

Теперь оценим знак этого выражения. Все переменные $s, x, y, z$ являются скоростями или расстоянием, поэтому они положительны ($y$ может быть равно 0, но это не меняет рассуждений).

• Множитель $2sx$ положителен, так как $s > 0$ и $x > 0$.
• Так как вторая река быстрее первой, $z > y$, следовательно $z^2 > y^2$ и $y^2 - z^2 < 0$. Числитель дроби отрицателен.
• Так как лодка может плыть против течения, $x > z$ и $x > y$. Следовательно, $x^2 > z^2$ и $x^2 > y^2$. Это означает, что оба множителя в знаменателе $(x^2 - y^2)$ и $(x^2 - z^2)$ положительны, и их произведение также положительно.

В итоге получаем, что разность $t_1 - t_2$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, то есть $t_1 - t_2 < 0$.

Из неравенства $t_1 < t_2$ следует, что время, затраченное во второй день, больше, чем время, затраченное в первый.

Ответ: Во второй день лодка затратила на весь путь больше времени.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

В пункте 1 было сделано предположение, что на реке с более быстрым течением лодка затратит больше времени на весь путь. Математический анализ, проведенный в пункте 4, показал, что $t_2 > t_1$. Таким образом, первоначальное предположение полностью подтвердилось.

Ответ: Да, предположение подтвердилось.