Номер 1024, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1024, страница 228.

1024. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2+ab+b^2\ge 0 \\ {a}^2+ab+b^2=a^2+2·a·\frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}= \\ ={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{a}^2-ab+b^2\ge 0 \\ {a}^2-ab+b^2=a^2-2·a·\frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}= \\ ={\left(a-\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}\ge 0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства неравенства $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ применим метод выделения полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В выражении $a^2 + ab + b^2$ первые два слагаемых $a^2 + ab$ можно рассматривать как часть полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат, член $ab$ должен быть удвоенным произведением. Представим его как $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$. Тогда вторым слагаемым в двучлене будет $\frac{b}{2}$, а его квадрат, который нужно добавить для полного квадрата, равен $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Преобразуем исходное выражение, добавив и вычтя $\frac{b^2}{4}$:

$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + ab + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат и упростим оставшуюся часть:

$(a + \frac{b}{2})^2 + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Проанализируем полученное выражение. Оно состоит из двух слагаемых:

1. $(a + \frac{b}{2})^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$.
2. $b^2$ также всегда неотрицательно, поэтому и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно,

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0$

Таким образом, исходное неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ доказано для любых значений $a$ и $b$. Равенство достигается только при $a=0$ и $b=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ также выделим полный квадрат. В этот раз будем использовать формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $a^2 - ab + b^2$ представим член $ab$ как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$. Тогда для полного квадрата разности нам потребуется член $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Добавим и вычтем $\frac{b^2}{4}$ в исходном выражении:

$a^2 - ab + b^2 = (a^2 - ab + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + b^2$

Сгруппируем слагаемые для выделения квадрата разности и упростим:

$(a - \frac{b}{2})^2 + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых:

1. $(a - \frac{b}{2})^2$ — квадрат действительного числа, поэтому $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$.
2. $\frac{3b^2}{4}$ — произведение положительного числа $\frac{3}{4}$ и неотрицательного числа $b^2$, поэтому $\frac{3b^2}{4} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна, значит:

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0$

Таким образом, мы доказали, что неравенство $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ справедливо для любых значений $a$ и $b$. Равенство нулю возможно только если $a=0$ и $b=0$.

Ответ: Неравенство доказано.