Номер 1019, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1019, страница 228.

1019. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?

Пусть x км/ч - скорость катера в стоячей воде, а y км/ч - скорость течения, тогда (x-y)км/ч - скорость против течения, (x+y)км/ч - скорость по течению. Получили $\frac{20}{x-y}\backslash frac\{20\}\{x-y\}$ч - время, потраченное на путь против течения, $\frac{20}{x+y}\backslash frac\{20\}\{x+y\}$ч - время, потраченное на путь по течению. Нужно сравнить

$$\begin{gathered} \frac{20}{x-y}+\frac{20}{x+y} \text{и} \frac{40}{x} \\ \frac{20\left(x+y\right)+20\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\frac{20x+20y+20x-20y}{x^2-y^2}= \\ =\frac{40x}{x^2-y^2} \\ \frac{40x}{x^2-y^2}>\frac{40x}{x^2} \end{gathered}$$

Ответ: катер затратит больше времени на путь по течению и против течения

Для решения этой задачи необходимо сравнить общее время движения катера в двух различных сценариях. Введем следующие обозначения:

• $v_k$ — собственная скорость катера в стоячей воде (км/ч).
• $v_т$ — скорость течения реки (км/ч).

Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_k > v_т$. Также очевидно, что $v_k > 0$ и $v_т > 0$.

Рассмотрим первый случай: катер проходит 20 км по течению и 20 км против течения.

Скорость катера при движении по течению составляет $v_k + v_т$.

Время, затраченное на 20 км пути по течению, равно: $t_1 = \frac{20}{v_k + v_т}$.

Скорость катера при движении против течения составляет $v_k - v_т$.

Время, затраченное на 20 км пути против течения, равно: $t_2 = \frac{20}{v_k - v_т}$.

Общее время движения в этом случае, $T_1$, является суммой $t_1$ и $t_2$:

$T_1 = t_1 + t_2 = \frac{20}{v_k + v_т} + \frac{20}{v_k - v_т}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю $(v_k + v_т)(v_k - v_т) = v_k^2 - v_т^2$:

$T_1 = \frac{20(v_k - v_т) + 20(v_k + v_т)}{(v_k + v_т)(v_k - v_т)} = \frac{20v_k - 20v_т + 20v_k + 20v_т}{v_k^2 - v_т^2}$

Упростив числитель, получаем выражение для общего времени $T_1$:

$T_1 = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_т^2}$

Рассмотрим второй случай: катер проходит 40 км в стоячей воде.

В стоячей воде течение отсутствует ($v_т = 0$), поэтому скорость катера равна его собственной скорости $v_k$.

Время движения $T_2$ на расстояние 40 км вычисляется по формуле:

$T_2 = \frac{40}{v_k}$

Сравнение времени $T_1$ и $T_2$.

Теперь нам нужно сравнить два выражения:

$T_1 = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_т^2}$ и $T_2 = \frac{40}{v_k}$

Для удобства сравнения преобразуем выражение для $T_2$, умножив числитель и знаменатель на $v_k$ (так как $v_k > 0$, это не изменит значение дроби):

$T_2 = \frac{40 \cdot v_k}{v_k \cdot v_k} = \frac{40v_k}{v_k^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми положительными числителями ($40v_k$):

$T_1 = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_т^2}$ и $T_2 = \frac{40v_k}{v_k^2}$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели:

Знаменатель для $T_1$: $v_k^2 - v_т^2$

Знаменатель для $T_2$: $v_k^2$

Поскольку скорость течения $v_т > 0$, то и $v_т^2 > 0$. Следовательно:

$v_k^2 - v_т^2 < v_k^2$

Так как знаменатель дроби для $T_1$ меньше знаменателя дроби для $T_2$, то значение самой дроби $T_1$ будет больше значения дроби $T_2$.

$T_1 > T_2$

Таким образом, катер затратит больше времени на путешествие по реке (туда и обратно), чем на такое же расстояние в стоячей воде.

Ответ: Катер затратит больше времени, если он пройдет 20 км по течению реки и 20 км против течения.