Страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1053. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,3}x-1<x+\mathrm{0,4}\\ 2-3x<5x+1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,3}x-x<\mathrm{0,4}+1\\ -3x-5x<1-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{0,7}x<\mathrm{1,4}\\ -8x<-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{0,7}}\\ x>\frac{1}{8}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-2\\ x>\frac{1}{8}\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\frac{1}{8}; +\mathrm{\infty }\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}x-\mathrm{0,12}>\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,07}\\ 1-2x>-x-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}x-\mathrm{0,6}x>\mathrm{0,07}+\mathrm{0,12}\\ -2x+x>-4-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,9}x>\mathrm{0,19}\\ -x>-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x>\frac{\mathrm{0,19}}{\mathrm{1,9}}\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1,9}{19}\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\mathrm{0,1}\\ x<5\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\mathrm{0,1}; 5\right)(0,1;\; 5)$

в) $\left\{\begin{array}{c}2x+\mathrm{1,4}<\frac{3x-7}{5} /·5\\ 2x>3-\frac{2x}{5} /·5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}10x+7<3x-7\\ 10x>15-2x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}10x-3x<-7-7\\ 10x+2x>15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}7x<-14\\ 12x>15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<-2\\ x>\frac{15}{12}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}x<-2\\ x>\frac{5}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<-2\\ x>1\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

г) $\left\{\begin{array}{l}3\left(x-2\right)\left(x+2\right)-3x^2<x\\ 5x-4>4-5x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3\left(x^2-4\right)-3x^2<x\\ 5x+5x>4+4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x^2-12-3x^2<x\\ 10x>8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-12\\ x>0,8\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\mathrm{0,8}; +\mathrm{\infty }\right)(0,8;+\backslash infty)$

д) $\left\{\begin{array}{l}\left(x-4\right)\left(5x-1\right)>5x^2>x+1\\ 3x-\mathrm{0,4}<2x-\mathrm{0,6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5x^2-x-20x+4-5x^2>x+1\\ 3x-2x<-\mathrm{0,6}+\mathrm{0,4}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-21x-x>1-4\\ x<-\mathrm{0,2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-22x>-3\\ x<-0,2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<\frac{2}{22}\\ x<-0,2\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty },-\mathrm{0,2}\right)(-\backslash infty,\; -0,2)$

е) $\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1+x}{3}>\frac{2x-1}{6}-2 \mathrm{/}·6\\ 3x-\frac{x}{4}>4 /·4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}6+2(1+x)>2x-1-12\\ 12x-x>16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6+2+2x>2x-13\\ 11x>16\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-2x>-13-8\\ x>\frac{16}{11}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0x>-21\\ x>1\frac{5}{11}\end{array}\right.$

0x>-21; 0>-21 - верно при любых х

Ответ: $\left(1\frac{5}{11}; +\mathrm{\infty }\right)$

а)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 0,3x - 1 < x + 0,4, \\ 2 - 3x < 5x + 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$0,3x - 1 < x + 0,4$

$0,3x - x < 0,4 + 1$

$-0,7x < 1,4$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1,4}{-0,7}$

$x > -2$

2. Решим второе неравенство:

$2 - 3x < 5x + 1$

$2 - 1 < 5x + 3x$

$1 < 8x$

$x > \frac{1}{8}$

3. Найдем пересечение решений: $x > -2$ и $x > \frac{1}{8}$.

На числовой прямой это будет промежуток, где оба условия выполняются, то есть $x > \frac{1}{8}$.

Ответ: $(\frac{1}{8}; +\infty)$

б)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07, \\ 1 - 2x > -x - 4; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07$

$2,5x - 0,6x > 0,07 + 0,12$

$1,9x > 0,19$

$x > \frac{0,19}{1,9}$

$x > 0,1$

2. Решим второе неравенство:

$1 - 2x > -x - 4$

$1 + 4 > 2x - x$

$5 > x$

$x < 5$

3. Найдем пересечение решений: $x > 0,1$ и $x < 5$.

Это соответствует интервалу $0,1 < x < 5$.

Ответ: $(0,1; 5)$

в)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5}, \\ 2x > 3 - \frac{2x}{5}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 5:

$5(2x + 1,4) < 3x - 7$

$10x + 7 < 3x - 7$

$10x - 3x < -7 - 7$

$7x < -14$

$x < -2$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 5:

$5(2x) > 5(3) - 5(\frac{2x}{5})$

$10x > 15 - 2x$

$10x + 2x > 15$

$12x > 15$

$x > \frac{15}{12}$

$x > \frac{5}{4}$ или $x > 1,25$

3. Найдем пересечение решений: $x < -2$ и $x > 1,25$.

Нет чисел, которые одновременно меньше -2 и больше 1,25. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений

г)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3(x - 2)(x + 2) - 3x^2 < x, \\ 5x - 4 > 4 - 5x; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$3(x^2 - 4) - 3x^2 < x$

$3x^2 - 12 - 3x^2 < x$

$-12 < x$

$x > -12$

2. Решим второе неравенство:

$5x - 4 > 4 - 5x$

$5x + 5x > 4 + 4$

$10x > 8$

$x > \frac{8}{10}$

$x > 0,8$

3. Найдем пересечение решений: $x > -12$ и $x > 0,8$.

Общим решением является $x > 0,8$.

Ответ: $(0,8; +\infty)$

д)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} (x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1, \\ 3x - 0,4 < 2x - 0,6; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Раскроем скобки:

$5x^2 - x - 20x + 4 - 5x^2 > x + 1$

$-21x + 4 > x + 1$

$4 - 1 > x + 21x$

$3 > 22x$

$x < \frac{3}{22}$

2. Решим второе неравенство:

$3x - 0,4 < 2x - 0,6$

$3x - 2x < -0,6 + 0,4$

$x < -0,2$

3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{3}{22}$ и $x < -0,2$.

Сравним числа $\frac{3}{22}$ и $-0,2$. Так как $\frac{3}{22} \approx 0,136$, то $-0,2 < \frac{3}{22}$. Следовательно, пересечением будет $x < -0,2$.

Ответ: $(-\infty; -0,2)$

е)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2, \\ 3x - \frac{x}{4} > 4; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1 + x}{3} > 6 \cdot \frac{2x - 1}{6} - 6 \cdot 2$

$6 + 2(1 + x) > 2x - 1 - 12$

$6 + 2 + 2x > 2x - 13$

$8 + 2x > 2x - 13$

$8 > -13$

Это неравенство верно при любом значении $x$. Таким образом, решение первого неравенства — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 4:

$4(3x) - 4(\frac{x}{4}) > 4(4)$

$12x - x > 16$

$11x > 16$

$x > \frac{16}{11}$

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x > \frac{16}{11}$.

Общим решением является $x > \frac{16}{11}$.

Ответ: $(\frac{16}{11}; +\infty)$

1054. Найдите целые решения системы неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}6x\left(x-1\right)-3x\left(2x-1\right)<x\\ 0,5x-\mathrm{3,7}<0,2x-0,7\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}6x^2-6x-6x^2+3x<x\\ 0,5x-0,2x<-0,7+3,7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-3x<x\\ 0,3x<3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-3x-x<0\\ x<\frac{3}{0,3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4x<0\\ x<10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<10\end{array}\right.$

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

б) $\left\{\begin{array}{l}0,7x-3\left(0,2x+1\right)\le 0,5x+1\\ 0,3\left(1-x\right)+0,8x\ge x+5,3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}0,7x-0,6x-3\le 0,5x+1\\ 0,3-0,3x+0,8x\ge x+5,3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0,1x-0,5x\le 1+3\\ 0,5x-x\ge 5,3-0,3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-0,4x\le 4\\ -0,5x\ge 5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{4}{0,4}\\ x\le 5:\left(-0,5\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge -10\\ x\le -10\end{array}\right.$

Ответ: -10

в) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}\left(3x-2\right)+\frac{1}{6}\left(12x+1\right)>0\\ \frac{1}{7}\left(14x-21\right)+\frac{2}{9}\left(9x-6\right)<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}x-\frac{2}{3}+2x+\frac{1}{6}>0\\ 2x-3+2x-\frac{4}{3}<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x-\frac{1}{2}>0\\ 4x-4\frac{1}{3}<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}3x>0,5\\ 4x<\frac{13}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x>\frac{0,5}{3}\\ x<\frac{13}{3·4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x>\frac{5}{30}\\ x<\frac{13}{12}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{6}\\ x<1\frac{1}{12}\end{array}\right.$

Ответ: 1

г) $\left\{\begin{array}{l}0,2\left(5x-1\right)+\frac{1}{3}\left(3x+1\right)<x+5,8\\ 8x-7-\frac{1}{6}\left(6x-2\right)>x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x-0,2+x+\frac{1}{3}<x+5,8\\ 8x-7-x+\frac{1}{3}>x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-x<5,8+0,2-\frac{1}{3}\\ 7x-x>7-\frac{1}{3}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x<5\frac{2}{3}\\ 6x>6\frac{2}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<5\frac{2}{3}\\ x>\frac{20}{3·6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<5\frac{2}{3}\\ x>\frac{10}{9}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<5\frac{2}{3}\\ x>1\frac{1}{9}\end{array}\right.$

Ответ: 2; 3; 4; 5

д) $\left\{\begin{array}{l}\frac{z-1}{2}-\frac{z-4}{3}>2z-1 /·6\\ 2z-\frac{z-5}{3}>0 /·3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3\left(z-1\right)-2\left(z-4\right)>6\left(2z-1\right)\\ 6z-\left(z-5\right)>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3z-3-2z+8>12z-6\\ 6z-z+5>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}z-12z>-6-5\\ 5z>-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-11z>-11\\ z>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}z<1\\ z>-1\end{array}\right.$

Ответ: 0

e) $\left\{\begin{array}{l}3y-\frac{1+5y}{4}<y /·4\\ \frac{4-y}{5}-y-1<0 /·5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}12y-\left(1+5y\right)<4y\\ 4-y-5y-5<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}12y-1-5y<4y\\ -6y-1<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7y-4y<1\\ -6y<1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3y<1\\ y>-\frac{1}{6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<\frac{1}{3}\\ y>-\frac{1}{6}\end{array}\right.$

Ответ: 0

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 6x(x - 1) - 3x(2x - 1) < x, \\ 0,5x - 3,7 < 0,2x - 0,7; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$6x^2 - 6x - (6x^2 - 3x) < x$

$6x^2 - 6x - 6x^2 + 3x < x$

$-3x < x$

$0 < 4x$

$x > 0$

Решаем второе неравенство:

$0,5x - 0,2x < 3,7 - 0,7$

$0,3x < 3$

$x < 10$

Решением системы является пересечение решений двух неравенств: $0 < x < 10$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,7x - 3(0,2x + 1) \le 0,5x + 1, \\ 0,3(1 - x) + 0,8x \ge x + 5,3; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$0,7x - 0,6x - 3 \le 0,5x + 1$

$0,1x - 3 \le 0,5x + 1$

$-3 - 1 \le 0,5x - 0,1x$

$-4 \le 0,4x$

$x \ge -10$

Решаем второе неравенство:

$0,3 - 0,3x + 0,8x \ge x + 5,3$

$0,3 + 0,5x \ge x + 5,3$

$0,5x - x \ge 5,3 - 0,3$

$-0,5x \ge 5$

$x \le -10$

Единственное число, удовлетворяющее условиям $x \ge -10$ и $x \le -10$, это $x = -10$.

Ответ: -10.

в) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{1}{3}(3x - 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0, \\ \frac{1}{7}(14x - 21) + \frac{2}{9}(9x - 6) < 0; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$x - \frac{2}{3} + 2x + \frac{1}{6} > 0$

$3x > \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$

$3x > \frac{4 - 1}{6}$

$3x > \frac{3}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Решаем второе неравенство:

$(2x - 3) + 2(x - \frac{2}{3}) < 0$

$2x - 3 + 2x - \frac{4}{3} < 0$

$4x < 3 + \frac{4}{3}$

$4x < \frac{9+4}{3}$

$4x < \frac{13}{3}$

$x < \frac{13}{12}$

Решением системы является интервал $\frac{1}{6} < x < \frac{13}{12}$.

Поскольку $\frac{1}{6} \approx 0,17$ и $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12} \approx 1,08$, единственным целым решением является 1.

Ответ: 1.

г) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,2(5x - 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5,8, \\ 8x - 7 - \frac{1}{6}(6x - 2) > x; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$x - 0,2 + x + \frac{1}{3} < x + 5,8$

$2x - x < 5,8 + 0,2 - \frac{1}{3}$

$x < 6 - \frac{1}{3}$

$x < \frac{17}{3}$

Решаем второе неравенство:

$8x - 7 - (x - \frac{1}{3}) > x$

$7x - 7 + \frac{1}{3} > x$

$6x > 7 - \frac{1}{3}$

$6x > \frac{20}{3}$

$x > \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$

Решением системы является интервал $\frac{10}{9} < x < \frac{17}{3}$.

Поскольку $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1,11$ и $\frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \approx 5,67$, целыми решениями являются 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

д) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{z - 1}{2} - \frac{z - 4}{3} > 2z - 1, \\ 2z - \frac{z - 5}{3} > 0; \end{cases} $

Решаем первое неравенство (умножим обе части на 6):

$3(z - 1) - 2(z - 4) > 6(2z - 1)$

$3z - 3 - 2z + 8 > 12z - 6$

$z + 5 > 12z - 6$

$11 > 11z$

$z < 1$

Решаем второе неравенство (умножим обе части на 3):

$6z - (z - 5) > 0$

$5z + 5 > 0$

$5z > -5$

$z > -1$

Решением системы является интервал $-1 < z < 1$.

Единственным целым решением в этом интервале является 0.

Ответ: 0.

е) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3y - \frac{1 + 5y}{4} < y, \\ \frac{4 - y}{5} - y - 1 < 0; \end{cases} $

Решаем первое неравенство (умножим обе части на 4):

$12y - (1 + 5y) < 4y$

$7y - 1 < 4y$

$3y < 1$

$y < \frac{1}{3}$

Решаем второе неравенство (умножим обе части на 5):

$(4 - y) - 5y - 5 < 0$

$-6y - 1 < 0$

$-1 < 6y$

$y > -\frac{1}{6}$

Решением системы является интервал $-\frac{1}{6} < y < \frac{1}{3}$.

Поскольку $-\frac{1}{6} \approx -0,17$ и $\frac{1}{3} \approx 0,33$, единственным целым решением является 0.

Ответ: 0.

1055. Решите двойное неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}-9<3x<18 \\ -3<x<6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-3;6\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}1<\frac{2x-1}{2}<2 /·2 \\ 2<2x-1<4 \\ 3<2x<5 \\ 1,5<x<2,5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1,5;2,5\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3\le 5x-1\le 4 \\ 4\le 5x\le 5 \\ 0,8\le x\le 1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left[0,8;1\right]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}0\le \frac{1-x}{3}\le 1 /·3 \\ 0\le 1-x\le 3 \\ -1\le -x\le 2 \\ -2\le x\le 1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left[-2;1\right]$

а) Чтобы решить двойное неравенство $-9 < 3x < 18$, разделим все его части на 3. Поскольку 3 — положительное число, знаки неравенства не изменяются:
$\frac{-9}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{18}{3}$
Выполнив деление, получаем:
$-3 < x < 6$
Ответ: $(-3; 6)$

б) Для решения неравенства $1 < \frac{2x-1}{2} < 2$ сначала избавимся от знаменателя, умножив все части на 2:
$1 \cdot 2 < \frac{2x-1}{2} \cdot 2 < 2 \cdot 2$
$2 < 2x - 1 < 4$
Теперь прибавим 1 ко всем частям, чтобы выделить слагаемое с $x$:
$2 + 1 < 2x - 1 + 1 < 4 + 1$
$3 < 2x < 5$
Наконец, разделим все части на 2:
$\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$
Что можно записать в виде десятичных дробей:
$1,5 < x < 2,5$
Ответ: $(1,5; 2,5)$

в) Чтобы решить неравенство $3 \le 5x - 1 \le 4$, сначала прибавим 1 ко всем его частям:
$3 + 1 \le 5x - 1 + 1 \le 4 + 1$
$4 \le 5x \le 5$
Теперь разделим все части на 5:
$\frac{4}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{5}{5}$
Что равносильно:
$0,8 \le x \le 1$
Ответ: $[0,8; 1]$

г) Для решения неравенства $0 \le \frac{1-x}{3} \le 1$ сначала умножим все части на 3:
$0 \cdot 3 \le \frac{1-x}{3} \cdot 3 \le 1 \cdot 3$
$0 \le 1 - x \le 3$
Затем вычтем 1 из всех частей:
$0 - 1 \le 1 - x - 1 \le 3 - 1$
$-1 \le -x \le 2$
Чтобы найти $x$, умножим все части на -1. При этом необходимо изменить знаки неравенства на противоположные:
$(-1) \cdot (-1) \ge (-x) \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$
$1 \ge x \ge -2$
Запишем результат в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-2 \le x \le 1$
Ответ: $[-2; 1]$

1056. а) При каких х значение выражения 2x – 4 принадлежит интервалу (–1; 5)?

б) При каких х значение дроби x - 52 принадлежит числовому отрезку [0; 5]?

в) При каких х значения функции y = - 13x + 8 принадлежат интервалу (–1; 1)?

г) При каких х значения функции y = –2,5x + 6 принадлежат числовому отрезку [–6; –2]?

a) -1<2x-4<5

3<2x<9

1,5<x<4,5

Ответ: при 1,5<x<4,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}0\le \frac{x-5}{2}\le 5\mathrm{/}·2 \\ 0\le x-5\le 10 \\ 5\le x\le 15 \end{gathered}$$

Ответ: при $5\le x\le 155\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 15$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=-\frac{1}{3}x+8; y\in \left(-1; 1\right) \\ -1<-\frac{1}{3}x+8<1 \\ -9<-\frac{1}{3}x<-7 \\ -27<-x<-21 \\ 21<x<27 \end{gathered}$$

Ответ: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=-\mathrm{2,5}x+6, y\in [-6; -2] \\ -6\le -\mathrm{2,5}x+6\le -2 \\ -12\le -\mathrm{2,5}x\le -8 \\ \frac{-8}{-\mathrm{2,5}}\le x\le \frac{-12}{-\mathrm{2,5}} \\ \mathrm{3,2}\le x\le \mathrm{4,8} \end{gathered}$$

Ответ: при $3,2\le x\le 4,83,2\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 4,8$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $2x - 4$ принадлежит интервалу $(-1; 5)$, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 < 2x - 4 < 5$

Сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от константы в центральной части:

$-1 + 4 < 2x - 4 + 4 < 5 + 4$

$3 < 2x < 9$

Теперь разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{3}{2} < x < \frac{9}{2}$

Что в десятичном виде выглядит как:

$1,5 < x < 4,5$

Таким образом, значение выражения принадлежит заданному интервалу, когда $x$ находится в интервале от 1,5 до 4,5.

Ответ: $x \in (1,5; 4,5)$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $\frac{x-5}{2}$ принадлежит числовому отрезку $[0; 5]$, решаем соответствующее двойное неравенство. Обратите внимание, что отрезок включает концы, поэтому неравенство будет нестрогим:

$0 \le \frac{x-5}{2} \le 5$

Умножим все части неравенства на 2:

$0 \cdot 2 \le x-5 \le 5 \cdot 2$

$0 \le x-5 \le 10$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$0+5 \le x \le 10+5$

$5 \le x \le 15$

Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку от 5 до 15 включительно.

Ответ: $x \in [5; 15]$.

в) Требуется найти значения $x$, при которых значения функции $y = -\frac{1}{3}x + 8$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$. Это означает, что $y$ должен удовлетворять неравенству $-1 < y < 1$. Подставим выражение для $y$:

$-1 < -\frac{1}{3}x + 8 < 1$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-1 - 8 < -\frac{1}{3}x < 1 - 8$

$-9 < -\frac{1}{3}x < -7$

Теперь умножим все части неравенства на -3. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-9 \cdot (-3) > x > -7 \cdot (-3)$

$27 > x > 21$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$21 < x < 27$

Это означает, что $x$ должен находиться в интервале от 21 до 27.

Ответ: $x \in (21; 27)$.

г) Нужно найти значения $x$, при которых значения функции $y = -2,5x + 6$ принадлежат числовому отрезку $[-6; -2]$. Составим двойное нестрогое неравенство:

$-6 \le y \le -2$

Подставим выражение для $y$:

$-6 \le -2,5x + 6 \le -2$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-6 - 6 \le -2,5x \le -2 - 6$

$-12 \le -2,5x \le -8$

Разделим все части неравенства на -2,5. Так как мы делим на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-12}{-2,5} \ge x \ge \frac{-8}{-2,5}$

Выполним деление:

$4,8 \ge x \ge 3,2$

Запишем в стандартном виде:

$3,2 \le x \le 4,8$

Таким образом, $x$ должен принадлежать отрезку от 3,2 до 4,8 включительно.

Ответ: $x \in [3,2; 4,8]$.