Страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1069. Существует ли значение x, при котором значение функции, заданной формулой φ(x) = 46 + x, равно: а) 1; б) –0,5; в) 0? В случае утвердительного ответа укажите это значение.

$\phi \left(x\right)=\frac{4}{6+x}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\phi \left(x\right)=1; \frac{4}{6+x}=1 /·6+x \\ 6+x=4 \\ x=-2 \end{gathered}$$

Если x=2, то 6+x=6+(-2)=4≠0

Ответ: да; -2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\phi \left(x\right)=-0,5; \frac{4}{6+x}=0,5 /·6+x \\ 4=-0,5\left(6+x\right) \\ -3-0,5x=4 \\ 0,5x=-7 \\ x=\frac{-7}{0,5} \\ x=-\frac{70}{5} \\ x=-14 \end{gathered}$$

Если x=-14, то 6+x=6+(-14)=-8≠0

Ответ: да; -14

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\phi \left(x\right)=0; \frac{4}{6+x}=0 /·6+x \\ 4=0\text{ -неверно} \end{gathered}$$

Ответ: не существует

Для того чтобы определить, существует ли значение $x$, при котором функция $\varphi(x) = \frac{4}{6+x}$ принимает заданное значение, необходимо подставить это значение в уравнение и решить его относительно $x$.

а)

Проверим, может ли значение функции быть равным 1. Для этого решим уравнение:

$\varphi(x) = 1$

$\frac{4}{6+x} = 1$

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $6+x \neq 0$, откуда $x \neq -6$.

Умножим обе части уравнения на $(6+x)$:

$4 = 1 \cdot (6+x)$

$4 = 6+x$

$x = 4 - 6$

$x = -2$

Полученное значение $x = -2$ не противоречит условию $x \neq -6$. Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = -2$.

б)

Проверим, может ли значение функции быть равным -0,5. Для этого решим уравнение:

$\varphi(x) = -0,5$

$\frac{4}{6+x} = -0,5$

Представим -0,5 в виде дроби $-\frac{1}{2}$:

$\frac{4}{6+x} = -\frac{1}{2}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$4 \cdot 2 = -1 \cdot (6+x)$

$8 = -6 - x$

$x = -6 - 8$

$x = -14$

Полученное значение $x = -14$ не противоречит условию $x \neq -6$. Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = -14$.

в)

Проверим, может ли значение функции быть равным 0. Для этого решим уравнение:

$\varphi(x) = 0$

$\frac{4}{6+x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном уравнении числитель равен 4. Так как $4 \neq 0$, то равенство $\frac{4}{6+x} = 0$ никогда не может быть верным.

Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором значение функции равно 0.

Ответ: нет, не существует.

1070. Найдите значение x, при котором функция, заданная формулой f(x) = 0,5x – 4, принимает значение, равное: а) –5; б) 0; в) 2,5.

$f \left(x\right)= 0 , 5 x - 4$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\mathit{f}\left(x\right)\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{;}\mathbf{ } \\ 0,5x-4=-5 \\ 0,5x=-5+4 \\ 0,5x=-1 \\ x=-\frac{1}{0,5} \\ x=-\frac{10}{5} \\ x=-2 \end{gathered}$$

Ответ: -2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\mathit{f}\left(x\right)\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{;} \\ 0,5x-4=0 \\ 0,5x=4 \\ x=\frac{4}{0,5} \\ x=\frac{40}{\mathrm{5 }} \\ x=8 \end{gathered}$$

Ответ: 8

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\mathit{f}\left(x\right)\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{;} \\ 0,5x-4=2,5 \\ 0,5x=6,5 \\ x=\frac{6,5}{0,5} \\ x=\frac{65}{5} \\ x=13 \end{gathered}$$

Ответ: 13

Для того чтобы найти значение $x$, при котором функция $f(x) = 0,5x - 4$ принимает заданное значение, необходимо приравнять выражение для функции к этому значению и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

а) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = -5$.
Составим и решим уравнение:
$0,5x - 4 = -5$
Перенесем слагаемое -4 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$0,5x = -5 + 4$
$0,5x = -1$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,5:
$x = \frac{-1}{0,5}$
$x = -2$
Ответ: -2.

б) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 0$.
Составим и решим уравнение:
$0,5x - 4 = 0$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$0,5x = 4$
Разделим обе части уравнения на 0,5:
$x = \frac{4}{0,5}$
$x = 8$
Ответ: 8.

в) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 2,5$.
Составим и решим уравнение:
$0,5x - 4 = 2,5$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$0,5x = 2,5 + 4$
$0,5x = 6,5$
Разделим обе части уравнения на 0,5:
$x = \frac{6,5}{0,5}$
$x = 13$
Ответ: 13.

1071. Найдите область определения функции, заданной формулой:

$\mathbf{\text{а) }}y=4x-8$

Ответ: все числа

$\mathbf{\text{б) }}y=x^2-5x+1$

Ответ: все числа

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{2x}{5-x} \\ 5-x\ne 0 \\ x\ne 5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\frac{3}{(x-4)(x+1)} \\ (x-4)(x+1)\ne 0 \\ \begin{array}{lcl}x-4\ne 0& \text{и}& x+1\ne 0\\ x\ne 4& & x\ne -1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -1 и 4

$\mathbf{\text{д) }}y=\frac{1}{x^2+1}$

Ответ: все числа

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}y=\sqrt{x-5} \\ x-5\ge 0 \\ x\ge 5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, больше или равные 5

а) $y = 4x - 8$

Данная функция является линейной (многочлен первой степени). Выражение $4x - 8$ определено для любых значений переменной $x$. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x$ — любое число, или $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = x^2 - 5x + 1$

Данная функция является квадратичной (многочлен второй степени). Выражение $x^2 - 5x + 1$ определено для любых значений переменной $x$. Ограничений на область определения нет.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x$ — любое число, или $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \frac{2x}{5-x}$

Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$5 - x = 0$

$x = 5$

Таким образом, функция не определена при $x = 5$. Область определения — все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $x \neq 5$, или $D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) $y = \frac{3}{(x-4)(x+1)}$

Это дробно-рациональная функция. Область определения — все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$(x-4)(x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x = 4$ или $x = -1$

Следовательно, функция не определена в точках $x = 4$ и $x = -1$.

Ответ: $x \neq 4$ и $x \neq -1$, или $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)$.

д) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

Это дробно-рациональная функция. Необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Проверим, может ли знаменатель $x^2 + 1$ быть равен нулю.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поэтому выражение $x^2 + 1$ всегда положительно ( $x^2 + 1 \ge 1$ ). Знаменатель никогда не обращается в ноль.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x$ — любое число, или $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

е) $y = \sqrt{x-5}$

Данная функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$x - 5 \ge 0$

$x \ge 5$

Таким образом, область определения функции — все числа, большие или равные 5.

Ответ: $x \ge 5$, или $D(y) = [5; +\infty)$.

1072. Приведите пример функции, область определения которой:

а) множество всех чисел;

б) множество всех чисел, кроме 7.

а) y=5x+2

б) $y=\frac{x}{x-7}$

а) множество всех чисел;
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение функции имеет смысл. Чтобы функция была определена для всех действительных чисел, в её аналитическом выражении не должно быть операций, которые могут быть невыполнимы для некоторых значений $x$. К таким операциям относятся, например, деление на выражение, которое может обратиться в ноль, или извлечение корня четной степени из отрицательного числа.
Этому требованию удовлетворяют все многочлены (полиномиальные функции). Например, линейная функция вида $y = kx+b$ или квадратичная функция $y = ax^2+bx+c$ определены при любом $x \in \mathbb{R}$.
В качестве примера приведем простую линейную функцию.
Ответ: $y = 5x - 2$.

б) множество всех чисел, кроме 7.
Чтобы из области определения функции было исключено только одно число $x=7$, необходимо создать условие, при котором вычисление значения функции при $x=7$ становится невозможным. Самый распространенный способ для этого — использовать операцию деления на ноль.
Для этого нужно сконструировать дробь, знаменатель которой обращается в ноль именно при $x=7$. Этому условию удовлетворяет выражение $x-7$, так как при $x=7$ оно равно $7-7=0$. В числителе может стоять любое число, отличное от нуля (например, 1), или любое другое выражение, которое определено при $x=7$.
Таким образом, функция $y = \frac{1}{x-7}$ будет определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x-7 \neq 0$, что равносильно $x \neq 7$.
Ответ: $y = \frac{1}{x-7}$.

1073. Какова область определения функции, заданной формулой:

a) y=x²+2x

Ответ: все числа

б) y=$\frac{x-1}{1+x}\backslash frac\{x-1\}\{1+x\}$

1+x≠0

x≠-1

Ответ: D(f)=(-∞;-1)∪(-1;+∞)

в) y=$\sqrt{9+x}\backslash sqrt\{9+x\}$

9+x ≥ 0

x ≥ -9

Ответ: D(f)=[-9;+∞)

г) y=$\sqrt{3-x}\backslash sqrt\{3-x\}$

3-x ≥ 0

x ≤ 3

Ответ: D(f)=(-∞;3]

а) Функция $y = x^2 + 2x$ является многочленом (квадратичной функцией). Выражение $x^2 + 2x$ определено для любых действительных значений переменной $x$, так как в нем отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня из выражения с переменной. Следовательно, никаких ограничений на область определения нет. Областью определения является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{x-1}{1+x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции исключает значения переменной, которые обращают знаменатель в ноль, так как деление на ноль не определено. Найдем недопустимое значение $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$1 + x = 0$
$x = -1$
Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме $-1$.
Ответ: $x \neq -1$, или $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в) Функция $y = \sqrt{9 + x}$ содержит переменную под знаком квадратного корня. В области действительных чисел корень четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:
$9 + x \ge 0$
$x \ge -9$
Следовательно, область определения функции - это все числа, большие или равные $-9$.
Ответ: $x \ge -9$, или $x \in [-9; +\infty)$.

г) Функция $y = \sqrt{3 - x}$ также содержит переменную под знаком квадратного корня. Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$3 - x \ge 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$3 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 3$.
Таким образом, область определения функции - это все числа, меньшие или равные 3.
Ответ: $x \le 3$, или $x \in (-\infty; 3]$.

1074. Найдите область определения функции и постройте её график:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}y=\frac{x^2-9}{6+2x} \\ 6+2x\ne 0 \\ 2x\ne -6 \\ x\ne -3 \\ D\left(f\right)=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-3;+\infty \right) \\ \frac{x^2-9}{6+2x}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{2\left(3+x\right)}=\frac{x-3}{2} \\ y=\frac{x-3}{2}; y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}; y=\frac{1}{2}x-1,5 \end{gathered}$$

Линейная функция, график-прямая

Ответ: ($-\infty ;-3$) $\cup$ ($-3;+\infty$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{4-x^2}{x^2+2x} \\ {x}^2+2x\ne 0 \\ x\left(x+2\right)\ne 0 \\ x\ne 0 \text{и }x+2\ne 0; x\ne -2 \\ D\left(f\right)=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;0\right)\cup \left(0;+\infty \right) \\ \frac{4-x^2}{x^2+2x}=\frac{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{2-x}{x}=\frac{2}{x}-\frac{x}{x}=\frac{2}{x}-1 \\ y=-1+\frac{2}{x} \end{gathered}$$

Обратная пропорциональность, график-гипербола

а) $y = \frac{x^2 - 9}{6 + 2x}$

1. Найдем область определения функции.

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$6 + 2x = 0$

$2x = -6$

$x = -3$

Следовательно, область определения функции (ОДЗ): $x \neq -3$. В виде интервалов это записывается как $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции и построим график.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $x^2 - 9$ — это разность квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель:

$y = \frac{x^2 - 9}{6 + 2x} = \frac{(x-3)(x+3)}{2(3+x)} = \frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq -3$, то $(x+3) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$y = \frac{x-3}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

Графиком данной функции является прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$, но с одной "выколотой" точкой, которая соответствует значению $x = -3$ из ОДЗ.

Найдем координаты этой выколотой точки. Для этого подставим значение $x = -3$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = \frac{1}{2}(-3) - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} = -3$

Таким образом, точка с координатами $(-3, -3)$ не принадлежит графику функции, и на графике она будет изображена в виде пустого кружочка.

Для построения прямой $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ найдем координаты двух любых других точек:

• при $x = 1, y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
• при $x = 3, y = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{3}{2} = \frac{3-3}{2} = 0$. Точка $(3, 0)$.

График — это прямая, проходящая через точки $(1, -1)$ и $(3, 0)$, с выколотой точкой $(-3, -3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. График функции — прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ с выколотой точкой $(-3, -3)$.

б) $y = \frac{4 - x^2}{x^2 + 2x}$

1. Найдем область определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 2x \neq 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+2) \neq 0$

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю. Это означает, что $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции и построим график.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{4 - x^2}{x^2 + 2x} = \frac{-(x^2 - 4)}{x(x+2)} = \frac{-(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$

Поскольку $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = \frac{-(x-2)}{x} = \frac{2-x}{x}$

Для удобства построения графика преобразуем выражение:

$y = \frac{2}{x} - \frac{x}{x} = \frac{2}{x} - 1$

Графиком данной функции является гипербола $y = \frac{2}{x} - 1$ с "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = -2$. Значение $x=0$ также исключено, но оно является вертикальной асимптотой гиперболы.

Найдем координаты выколотой точки. Подставим $x = -2$ в упрощенное уравнение:

$y = \frac{2}{-2} - 1 = -1 - 1 = -2$

Таким образом, точка с координатами $(-2, -2)$ не принадлежит графику функции.

График функции $y = \frac{2}{x} - 1$ получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{2}{x}$ путем смещения на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Асимптоты гиперболы: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=-1$.

Для построения графика найдем несколько точек на его ветвях:

• при $x = 1, y = \frac{2}{1} - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• при $x = 2, y = \frac{2}{2} - 1 = 0$. Точка $(2, 0)$.
• при $x = -1, y = \frac{2}{-1} - 1 = -3$. Точка $(-1, -3)$.
• при $x = -4, y = \frac{2}{-4} - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$. Точка $(-4, -1.5)$.

График — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-1$, с ветвями в I и III координатных четвертях относительно этих асимптот, и с выколотой точкой $(-2, -2)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{2}{x} - 1$ с выколотой точкой $(-2, -2)$.

1075. Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через t с. Глубина спуска h м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости 30°. Выразите формулой зависимость h от t, если скорость движения эскалатора равна 0,75 м/с. Найдите:

а) h, если t = 2,25 мин;

б) t, если h = 60 м.

Длина экскалатора 0,75t м

$$\begin{gathered} Sin30\mathrm{°}=\frac{h}{\mathrm{0,75}t} \\ h=0,75t sin30\mathrm{°}=\frac{\mathrm{0,75}t}{2}=\frac{3t}{8} \end{gathered}$$

а) если t=2,25 мин, то $h=\frac{3}{8}·2,25·60=\frac{3}{8}·135=\frac{405}{8}=50,625\left(\text{м}\right)h=\backslash frac\{3\}\{8\}\; \backslash cdot\; 2,25\; \backslash cdot\; 60=\backslash frac\{3\}\{8\}\; \backslash cdot\; 135=\backslash frac\{405\}\{8\}=50,625\; (м)$

б) если h=60м, то $60=\frac{3t}{8}; 3t=480; t=\frac{480}{3}=160c=2\text{мин}40\text{с}$

Для начала выведем формулу зависимости глубины спуска $h$ от времени $t$. Движение по эскалатору можно представить как движение по гипотенузе прямоугольного треугольника.

• Гипотенуза этого треугольника — это расстояние $L$, которое проехал пассажир по эскалатору.
• Один катет — это глубина спуска $h$.
• Другой катет — это горизонтальное расстояние.
• Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости $\alpha = 30^\circ$ — это угол, противолежащий катету $h$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Отсюда глубина спуска $h$ выражается как:

$h = L \cdot \sin(\alpha)$

Расстояние $L$, которое пассажир проезжает по эскалатору, можно найти, умножив скорость движения эскалатора $v$ на время движения $t$:

$L = v \cdot t$

Подставим это выражение в формулу для $h$:

$h = (v \cdot t) \cdot \sin(\alpha)$

Теперь используем данные из условия задачи: скорость $v = 0,75$ м/с и угол $\alpha = 30^\circ$. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = 0,5$.

$h = (0,75 \cdot t) \cdot 0,5$

$h = 0,375t$

Это и есть искомая формула зависимости $h$ от $t$.

а) Найдите $h$, если $t = 2,25$ мин;

Для использования формулы необходимо, чтобы все величины были в согласованных единицах. Скорость дана в м/с, поэтому время нужно перевести в секунды.

$t = 2,25 \text{ мин} = 2,25 \cdot 60 \text{ с} = 135 \text{ с}$

Теперь подставим это значение времени в выведенную формулу:

$h = 0,375 \cdot 135 = 50,625 \text{ м}$

Ответ: $h = 50,625$ м.

б) Найдите $t$, если $h = 60$ м.

Воспользуемся той же формулой $h = 0,375t$, но теперь выразим из нее время $t$:

$t = \frac{h}{0,375}$

Подставим известное значение глубины $h = 60$ м:

$t = \frac{60}{0,375} = 160 \text{ с}$

Для удобства можно перевести секунды в минуты и секунды: $160 \text{ с} = 2 \text{ мин } 40 \text{ с}$.

Ответ: $t = 160$ с.

1076. Дальность полёта s м снаряда (без учёта сопротивления воздуха), выпущенного из орудия под углом 45° к горизонту, зависит только от начальной скорости снаряда v₀ м/с и может быть найдена по формуле s = v₀²g(g ≈ 10 м/c²) Найдите:

а) s, если v₀ = 600 м/с;

б) v₀, если s = 24 км.

$S=\frac{V_0^2}{g} \left(g\approx 10{\text{м/c}}^2\right)$

a) если $V_0=600\text{м/с}V\_0=600\; \backslash text\{м/с\}$, то $S=\frac{600·600}{10}=36000\text{(м)}=36\text{ км}S=\backslash frac\{600\; \backslash cdot\; 600\}\{10\}=36000\; \backslash text\{(м)\}=36\; \backslash text\{\; км\}$

Ответ: 36 км

б) если $S=24\text{ км}=24000\text{м}S=24\; \backslash text\{\; км\}=24000\; \backslash text\{м\}$, то

$$\begin{gathered} 24000=\frac{V_0^2}{10}24000=\backslash frac\{V\_0^2\}\{10\} \\ {V}_0^2=240000V\_0^2=240000 \\ {V}_0\approx 490\text{м/с}V\_0\; \backslash approx\; 490\; \backslash text\{м/с\} \end{gathered}$$

Ответ: $\approx 490\text{ м/с}\backslash approx\; 490\; \backslash text\{\; м/с\}$

а) В этом пункте нам нужно найти дальность полета снаряда $s$ при известной начальной скорости $v_0$. Используем заданную формулу $s = \frac{v_0^2}{g}$.
Дано:
начальная скорость $v_0 = 600$ м/с;
ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с?.
Подставляем значения в формулу:
$s = \frac{600^2}{10} = \frac{360000}{10} = 36000$ м.
Для удобства можно перевести метры в километры:
$36000$ м $= 36$ км.
Ответ: 36000 м (или 36 км).

б) В этом пункте нам нужно найти начальную скорость снаряда $v_0$ при известной дальности полета $s$. Для этого выразим $v_0$ из исходной формулы $s = \frac{v_0^2}{g}$.
$v_0^2 = s \cdot g$
$v_0 = \sqrt{s \cdot g}$
Дано:
дальность полета $s = 24$ км;
ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с?.
Перед вычислением необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Переведем дальность полета из километров в метры:
$s = 24$ км $= 24 \cdot 1000 = 24000$ м.
Теперь подставляем значения в выведенную формулу:
$v_0 = \sqrt{24000 \cdot 10} = \sqrt{240000}$ м/с.
Можно упростить полученное значение, вынеся множитель из-под корня:
$v_0 = \sqrt{240000} = \sqrt{40000 \cdot 6} = \sqrt{40000} \cdot \sqrt{6} = 200\sqrt{6}$ м/с.
(Приблизительное значение: $200\sqrt{6} \approx 200 \cdot 2,45 \approx 490$ м/с).
Ответ: $200\sqrt{6}$ м/с (или $\sqrt{240000}$ м/с).

1077. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой:

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при нахождении области определения функции.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{5}{\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+4} \\ \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+4\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }\ne -4 \end{gathered}$$

Ответ: все числа

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{48}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ne 2 \\ x\ne 2 \text{и} x\ne -2 \\ D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -2\right)\cup \left(-2; 2\right)\cup \left(2; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -2 и 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=x^2+\sqrt{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1\ge 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 1 \\ x\ge 1 \text{или} -x\ge 1; x\le -1 \\ D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -1]\cup [1; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -1]\cup [1; +\mathrm{\infty }\right)(-\backslash infty;\; -1]\; \backslash cup\; [1;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\sqrt{\mathrm{\mid }2-x\mathrm{\mid }-3x} \\ \mathrm{\mid }2-x\mathrm{\mid }-3x\ge 0 \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 2-x-3x\ge 0\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}2-x<0\\ -2+x-3x\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ 2-4x\ge 0\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x>2\\ -2-2x\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ 4x\le 2\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x>2\\ 2x<-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\le \frac{1}{2}\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x<-1\end{array}\right.\\ & & \text{нет решений}\end{array} \\ D\left(f\right)=(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{2}] \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{2}]$

а) Область определения функции $y = \frac{5}{|x+1|+4}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Запишем это условие: $|x+1|+4 \neq 0$. По определению, модуль любого выражения является неотрицательным числом, то есть $|x+1| \ge 0$. Следовательно, сумма $|x+1|+4 \ge 0+4$, то есть $|x+1|+4 \ge 4$. Так как знаменатель всегда больше или равен 4, он никогда не может быть равен нулю. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{48}{|x|-2}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Запишем это условие: $|x|-2 \neq 0$. Из этого условия следует, что $|x| \neq 2$. Это уравнение равносильно тому, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 2.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = x^2 + \sqrt{|x|-1}$ зависит от выражения, стоящего под знаком квадратного корня. Оно должно быть неотрицательным. Слагаемое $x^2$ определено для любых $x$ и не вносит ограничений. Запишем условие для подкоренного выражения: $|x|-1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $|x| \ge 1$. Решением данного неравенства является объединение двух промежутков: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{|2-x|-3x}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|2-x|-3x \ge 0$. Для решения этого неравенства с модулем необходимо рассмотреть два случая.
1. Если выражение под модулем неотрицательно: $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$. В этом случае $|2-x| = 2-x$. Неравенство принимает вид: $2-x-3x \ge 0$ $2-4x \ge 0$ $2 \ge 4x$ $x \le \frac{1}{2}$. Пересекая полученное решение с условием этого случая ($x \le 2$ и $x \le \frac{1}{2}$), получаем $x \le \frac{1}{2}$.
2. Если выражение под модулем отрицательно: $2-x < 0$, то есть $x > 2$. В этом случае $|2-x| = -(2-x) = x-2$. Неравенство принимает вид: $x-2-3x \ge 0$ $-2x-2 \ge 0$ $-2x \ge 2$ $x \le -1$. В этом случае система условий $x > 2$ и $x \le -1$ не имеет решений.
Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговое решение $x \le \frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{2}]$.