Номер 1077, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1077, страница 238.

1077. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой:

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при нахождении области определения функции.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{5}{\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+4} \\ \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+4\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }\ne -4 \end{gathered}$$

Ответ: все числа

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{48}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ne 2 \\ x\ne 2 \text{и} x\ne -2 \\ D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -2\right)\cup \left(-2; 2\right)\cup \left(2; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -2 и 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=x^2+\sqrt{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1\ge 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 1 \\ x\ge 1 \text{или} -x\ge 1; x\le -1 \\ D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -1]\cup [1; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -1]\cup [1; +\mathrm{\infty }\right)(-\backslash infty;\; -1]\; \backslash cup\; [1;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\sqrt{\mathrm{\mid }2-x\mathrm{\mid }-3x} \\ \mathrm{\mid }2-x\mathrm{\mid }-3x\ge 0 \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 2-x-3x\ge 0\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}2-x<0\\ -2+x-3x\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ 2-4x\ge 0\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x>2\\ -2-2x\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ 4x\le 2\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x>2\\ 2x<-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\le \frac{1}{2}\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x<-1\end{array}\right.\\ & & \text{нет решений}\end{array} \\ D\left(f\right)=(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{2}] \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{2}]$

а) Область определения функции $y = \frac{5}{|x+1|+4}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Запишем это условие: $|x+1|+4 \neq 0$. По определению, модуль любого выражения является неотрицательным числом, то есть $|x+1| \ge 0$. Следовательно, сумма $|x+1|+4 \ge 0+4$, то есть $|x+1|+4 \ge 4$. Так как знаменатель всегда больше или равен 4, он никогда не может быть равен нулю. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{48}{|x|-2}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Запишем это условие: $|x|-2 \neq 0$. Из этого условия следует, что $|x| \neq 2$. Это уравнение равносильно тому, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 2.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = x^2 + \sqrt{|x|-1}$ зависит от выражения, стоящего под знаком квадратного корня. Оно должно быть неотрицательным. Слагаемое $x^2$ определено для любых $x$ и не вносит ограничений. Запишем условие для подкоренного выражения: $|x|-1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $|x| \ge 1$. Решением данного неравенства является объединение двух промежутков: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{|2-x|-3x}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|2-x|-3x \ge 0$. Для решения этого неравенства с модулем необходимо рассмотреть два случая.
1. Если выражение под модулем неотрицательно: $2-x \ge 0$, то есть $x \le 2$. В этом случае $|2-x| = 2-x$. Неравенство принимает вид: $2-x-3x \ge 0$ $2-4x \ge 0$ $2 \ge 4x$ $x \le \frac{1}{2}$. Пересекая полученное решение с условием этого случая ($x \le 2$ и $x \le \frac{1}{2}$), получаем $x \le \frac{1}{2}$.
2. Если выражение под модулем отрицательно: $2-x < 0$, то есть $x > 2$. В этом случае $|2-x| = -(2-x) = x-2$. Неравенство принимает вид: $x-2-3x \ge 0$ $-2x-2 \ge 0$ $-2x \ge 2$ $x \le -1$. В этом случае система условий $x > 2$ и $x \le -1$ не имеет решений.
Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговое решение $x \le \frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{2}]$.