Номер 1084, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1084, страница 240.

1084. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины х (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и множество значений этой функции.

$P=2x+20P=2x+20$

Используя неравенство треугольника $2x>202x\; >\; 20$. По условию задачи $2x+20\le 1002x+20\; \backslash le\; 100$

Составим систему неравенств

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x>20\\ 2x+20\le 100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>10\\ 2x\le 80\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>10\\ x\le 40\end{array}\right. \\ D\left(f\right)=(10; 40] \end{gathered}$$

Наименьшее $P=2·10+20=40P=2\; \backslash cdot\; 10+20=40$

Наибольшее $P=2·40+20=100$

$E\left(f\right)=[40; 100]$

Ответ: $(10; 40]; (40; 100]$

Задание формулы функции

Периметр равнобедренного треугольника $P$ зависит от длины его боковой стороны $x$. Основание треугольника по условию равно 20 см. Периметр — это сумма длин всех сторон. Так как боковых сторон две и они равны $x$, то зависимость периметра от $x$ выражается следующей функцией:
$P(x) = x + x + 20 = 2x + 20$.
Ответ: $P(x) = 2x + 20$.

Область определения функции

Область определения функции $D(P)$ — это множество всех допустимых значений переменной $x$. Для нахождения области определения необходимо учесть два условия:
1. Неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Для нашего треугольника основное ограничение — это сумма боковых сторон должна быть больше основания: $x + x > 20 \Rightarrow 2x > 20 \Rightarrow x > 10$.
(Неравенство $x + 20 > x$ выполняется для любого положительного $x$).
2. Условие из задачи: периметр треугольника не превосходит 100 см. $P(x) \le 100 \Rightarrow 2x + 20 \le 100 \Rightarrow 2x \le 80 \Rightarrow x \le 40$.
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен удовлетворять системе неравенств: $\begin{cases} x > 10 \\ x \le 40 \end{cases}$. Следовательно, область определения — это полуинтервал $(10, 40]$.
Ответ: $D(P) = (10, 40]$.

Множество значений функции

Множество значений функции $E(P)$ — это множество всех возможных значений периметра $P(x)$, когда аргумент $x$ принадлежит области определения $(10, 40]$.
Функция $P(x) = 2x + 20$ является линейной и возрастающей, так как коэффициент при $x$ положителен. Это значит, что для нахождения множества значений функции нужно найти ее значения на границах области определения $x$.
- Нижняя граница (недостижимая, так как $x > 10$): $P(10) = 2 \cdot 10 + 20 = 40$.
- Верхняя граница (достижимая, так как $x \le 40$): $P(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100$.
Таким образом, значения периметра $P(x)$ строго больше 40 и не превосходят 100, то есть $40 < P(x) \le 100$.
Ответ: $E(P) = (40, 100]$.