Номер 1080, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1080, страница 240.

1080. Постройте график функции, заданной формулой:

Укажите область определения и множество значений функции.

a) $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}-3x$

x	0	1
y	1,5	-1,5

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

 

б) $f\left(x\right)=\mathrm{4,5}x$

x	0	2
y	0	9

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

 

в) $f\left(x\right)=\frac{10}{x}$

x	1	2	4	5	10	-1	-2	-4	-5	-10
y	10	5	2,5	2	1	-10	-5	-2,5	-2	-1

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

 

г) $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}$

x	0,1	0,2	0,4	0,5	1	2	2,5	5	10
y	-10	-5	-2,5	-2	-1	-0,5	-0,4	-0,2	-0,1
x	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5	-1	-2	-2,5	-5	-10
y	10	5	2,5	2	1	0,5	0,4	0,2	0,1

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(f\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

а) f(x) = 1,5 - 3x;

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$, а свободный член $b = 1,5$. Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

1. При $x = 0$, $f(0) = 1,5 - 3 \cdot 0 = 1,5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 1,5)$.
2. При $f(x) = 0$, $0 = 1,5 - 3x$, откуда $3x = 1,5$ и $x = 0,5$. Точка пересечения с осью Ox: $(0,5; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график функции. Так как $k = -3 < 0$, функция является убывающей.

Область определения функции (D(f)) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для линейной функции нет никаких ограничений на $x$.

Множество значений функции (E(f)) — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$. Так как график — это наклонная прямая, она принимает все возможные значения по оси y.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) f(x) = 4,5x;

Это частный случай линейной функции, называемый прямой пропорциональностью, вида $y = kx$, где $k = 4,5$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат — точку $(0; 0)$.

Для построения графика найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x = 1$:

$f(1) = 4,5 \cdot 1 = 4,5$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1; 4,5)$. Проведя прямую через точки $(0; 0)$ и $(1; 4,5)$, получим искомый график. Так как $k = 4,5 > 0$, функция является возрастающей.

Область определения (D(f)): для данной функции переменная $x$ может принимать любые действительные значения.

Множество значений (E(f)): функция может принимать любые действительные значения.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

в) f(x) = 10/x;

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где $k = 10$. Графиком такой функции является гипербола.

Так как коэффициент $k = 10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика составим таблицу значений для каждой ветви:

Для I четверти (x > 0):

• $x=1, y=10$
• $x=2, y=5$
• $x=5, y=2$
• $x=10, y=1$

Для III четверти (x < 0):

• $x=-1, y=-10$
• $x=-2, y=-5$
• $x=-5, y=-2$
• $x=-10, y=-1$

Соединив точки плавными кривыми в каждой четверти, получим график функции. Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для гиперболы.

Область определения (D(f)): выражение в знаменателе не может быть равно нулю, поэтому $x \neq 0$.

Множество значений (E(f)): значение функции никогда не будет равно нулю, так как дробь $\frac{10}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, что неверно.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) f(x) = -1/x;

Это также функция обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где $k = -1$. Графиком является гипербола.

Так как коэффициент $k = -1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу значений:

Для IV четверти (x > 0):

• $x=1, y=-1$
• $x=2, y=-0,5$
• $x=0,5, y=-2$

Для II четверти (x < 0):

• $x=-1, y=1$
• $x=-2, y=0,5$
• $x=-0,5, y=2$

Построив точки и соединив их плавными кривыми, получим график. Оси координат являются асимптотами.

Область определения (D(f)): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Множество значений (E(f)): функция не может принимать значение 0.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.