Номер 1075, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1075, страница 238.

1075. Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через t с. Глубина спуска h м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости 30°. Выразите формулой зависимость h от t, если скорость движения эскалатора равна 0,75 м/с. Найдите:

а) h, если t = 2,25 мин;

б) t, если h = 60 м.

Длина экскалатора 0,75t м

$$\begin{gathered} Sin30\mathrm{°}=\frac{h}{\mathrm{0,75}t} \\ h=0,75t sin30\mathrm{°}=\frac{\mathrm{0,75}t}{2}=\frac{3t}{8} \end{gathered}$$

а) если t=2,25 мин, то $h=\frac{3}{8}·2,25·60=\frac{3}{8}·135=\frac{405}{8}=50,625\left(\text{м}\right)h=\backslash frac\{3\}\{8\}\; \backslash cdot\; 2,25\; \backslash cdot\; 60=\backslash frac\{3\}\{8\}\; \backslash cdot\; 135=\backslash frac\{405\}\{8\}=50,625\; (м)$

б) если h=60м, то $60=\frac{3t}{8}; 3t=480; t=\frac{480}{3}=160c=2\text{мин}40\text{с}$

Для начала выведем формулу зависимости глубины спуска $h$ от времени $t$. Движение по эскалатору можно представить как движение по гипотенузе прямоугольного треугольника.

• Гипотенуза этого треугольника — это расстояние $L$, которое проехал пассажир по эскалатору.
• Один катет — это глубина спуска $h$.
• Другой катет — это горизонтальное расстояние.
• Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости $\alpha = 30^\circ$ — это угол, противолежащий катету $h$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Отсюда глубина спуска $h$ выражается как:

$h = L \cdot \sin(\alpha)$

Расстояние $L$, которое пассажир проезжает по эскалатору, можно найти, умножив скорость движения эскалатора $v$ на время движения $t$:

$L = v \cdot t$

Подставим это выражение в формулу для $h$:

$h = (v \cdot t) \cdot \sin(\alpha)$

Теперь используем данные из условия задачи: скорость $v = 0,75$ м/с и угол $\alpha = 30^\circ$. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = 0,5$.

$h = (0,75 \cdot t) \cdot 0,5$

$h = 0,375t$

Это и есть искомая формула зависимости $h$ от $t$.

а) Найдите $h$, если $t = 2,25$ мин;

Для использования формулы необходимо, чтобы все величины были в согласованных единицах. Скорость дана в м/с, поэтому время нужно перевести в секунды.

$t = 2,25 \text{ мин} = 2,25 \cdot 60 \text{ с} = 135 \text{ с}$

Теперь подставим это значение времени в выведенную формулу:

$h = 0,375 \cdot 135 = 50,625 \text{ м}$

Ответ: $h = 50,625$ м.

б) Найдите $t$, если $h = 60$ м.

Воспользуемся той же формулой $h = 0,375t$, но теперь выразим из нее время $t$:

$t = \frac{h}{0,375}$

Подставим известное значение глубины $h = 60$ м:

$t = \frac{60}{0,375} = 160 \text{ с}$

Для удобства можно перевести секунды в минуты и секунды: $160 \text{ с} = 2 \text{ мин } 40 \text{ с}$.

Ответ: $t = 160$ с.