Номер 1069, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1069, страница 238.

1069. Существует ли значение x, при котором значение функции, заданной формулой φ(x) = 46 + x, равно: а) 1; б) –0,5; в) 0? В случае утвердительного ответа укажите это значение.

$\phi \left(x\right)=\frac{4}{6+x}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\phi \left(x\right)=1; \frac{4}{6+x}=1 /·6+x \\ 6+x=4 \\ x=-2 \end{gathered}$$

Если x=2, то 6+x=6+(-2)=4≠0

Ответ: да; -2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\phi \left(x\right)=-0,5; \frac{4}{6+x}=0,5 /·6+x \\ 4=-0,5\left(6+x\right) \\ -3-0,5x=4 \\ 0,5x=-7 \\ x=\frac{-7}{0,5} \\ x=-\frac{70}{5} \\ x=-14 \end{gathered}$$

Если x=-14, то 6+x=6+(-14)=-8≠0

Ответ: да; -14

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\phi \left(x\right)=0; \frac{4}{6+x}=0 /·6+x \\ 4=0\text{ -неверно} \end{gathered}$$

Ответ: не существует

Для того чтобы определить, существует ли значение $x$, при котором функция $\varphi(x) = \frac{4}{6+x}$ принимает заданное значение, необходимо подставить это значение в уравнение и решить его относительно $x$.

а)

Проверим, может ли значение функции быть равным 1. Для этого решим уравнение:

$\varphi(x) = 1$

$\frac{4}{6+x} = 1$

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $6+x \neq 0$, откуда $x \neq -6$.

Умножим обе части уравнения на $(6+x)$:

$4 = 1 \cdot (6+x)$

$4 = 6+x$

$x = 4 - 6$

$x = -2$

Полученное значение $x = -2$ не противоречит условию $x \neq -6$. Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = -2$.

б)

Проверим, может ли значение функции быть равным -0,5. Для этого решим уравнение:

$\varphi(x) = -0,5$

$\frac{4}{6+x} = -0,5$

Представим -0,5 в виде дроби $-\frac{1}{2}$:

$\frac{4}{6+x} = -\frac{1}{2}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$4 \cdot 2 = -1 \cdot (6+x)$

$8 = -6 - x$

$x = -6 - 8$

$x = -14$

Полученное значение $x = -14$ не противоречит условию $x \neq -6$. Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, при $x = -14$.

в)

Проверим, может ли значение функции быть равным 0. Для этого решим уравнение:

$\varphi(x) = 0$

$\frac{4}{6+x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном уравнении числитель равен 4. Так как $4 \neq 0$, то равенство $\frac{4}{6+x} = 0$ никогда не может быть верным.

Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором значение функции равно 0.

Ответ: нет, не существует.