Номер 1074, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1074, страница 238.

1074. Найдите область определения функции и постройте её график:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}y=\frac{x^2-9}{6+2x} \\ 6+2x\ne 0 \\ 2x\ne -6 \\ x\ne -3 \\ D\left(f\right)=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(-3;+\infty \right) \\ \frac{x^2-9}{6+2x}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{2\left(3+x\right)}=\frac{x-3}{2} \\ y=\frac{x-3}{2}; y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}; y=\frac{1}{2}x-1,5 \end{gathered}$$

Линейная функция, график-прямая

x	0	2
y	-1,5	-0,5

Ответ: ($-\infty ;-3$) $\cup$ ($-3;+\infty$)

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{4-x^2}{x^2+2x} \\ {x}^2+2x\ne 0 \\ x\left(x+2\right)\ne 0 \\ x\ne 0 \text{и }x+2\ne 0; x\ne -2 \\ D\left(f\right)=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;0\right)\cup \left(0;+\infty \right) \\ \frac{4-x^2}{x^2+2x}=\frac{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{2-x}{x}=\frac{2}{x}-\frac{x}{x}=\frac{2}{x}-1 \\ y=-1+\frac{2}{x} \end{gathered}$$

Обратная пропорциональность, график-гипербола

Не входит в область определения

x	0,5	1	2	4	-0,5	-1	-2	-4
y	3	1	0	-0,5	-5	-3	-2	-1,5

а) $y = \frac{x^2 - 9}{6 + 2x}$

1. Найдем область определения функции.

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$6 + 2x = 0$

$2x = -6$

$x = -3$

Следовательно, область определения функции (ОДЗ): $x \neq -3$. В виде интервалов это записывается как $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции и построим график.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $x^2 - 9$ — это разность квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель:

$y = \frac{x^2 - 9}{6 + 2x} = \frac{(x-3)(x+3)}{2(3+x)} = \frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq -3$, то $(x+3) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$y = \frac{x-3}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

Графиком данной функции является прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$, но с одной "выколотой" точкой, которая соответствует значению $x = -3$ из ОДЗ.

Найдем координаты этой выколотой точки. Для этого подставим значение $x = -3$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = \frac{1}{2}(-3) - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} = -3$

Таким образом, точка с координатами $(-3, -3)$ не принадлежит графику функции, и на графике она будет изображена в виде пустого кружочка.

Для построения прямой $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ найдем координаты двух любых других точек:

• при $x = 1, y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
• при $x = 3, y = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{3}{2} = \frac{3-3}{2} = 0$. Точка $(3, 0)$.

График — это прямая, проходящая через точки $(1, -1)$ и $(3, 0)$, с выколотой точкой $(-3, -3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. График функции — прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ с выколотой точкой $(-3, -3)$.

б) $y = \frac{4 - x^2}{x^2 + 2x}$

1. Найдем область определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 2x \neq 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+2) \neq 0$

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю. Это означает, что $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции и построим график.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{4 - x^2}{x^2 + 2x} = \frac{-(x^2 - 4)}{x(x+2)} = \frac{-(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$

Поскольку $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = \frac{-(x-2)}{x} = \frac{2-x}{x}$

Для удобства построения графика преобразуем выражение:

$y = \frac{2}{x} - \frac{x}{x} = \frac{2}{x} - 1$

Графиком данной функции является гипербола $y = \frac{2}{x} - 1$ с "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = -2$. Значение $x=0$ также исключено, но оно является вертикальной асимптотой гиперболы.

Найдем координаты выколотой точки. Подставим $x = -2$ в упрощенное уравнение:

$y = \frac{2}{-2} - 1 = -1 - 1 = -2$

Таким образом, точка с координатами $(-2, -2)$ не принадлежит графику функции.

График функции $y = \frac{2}{x} - 1$ получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{2}{x}$ путем смещения на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Асимптоты гиперболы: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=-1$.

Для построения графика найдем несколько точек на его ветвях:

• при $x = 1, y = \frac{2}{1} - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• при $x = 2, y = \frac{2}{2} - 1 = 0$. Точка $(2, 0)$.
• при $x = -1, y = \frac{2}{-1} - 1 = -3$. Точка $(-1, -3)$.
• при $x = -4, y = \frac{2}{-4} - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$. Точка $(-4, -1.5)$.

График — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-1$, с ветвями в I и III координатных четвертях относительно этих асимптот, и с выколотой точкой $(-2, -2)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{2}{x} - 1$ с выколотой точкой $(-2, -2)$.