Номер 1081, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1081, страница 240.

1081. Найдите множество значений функции:

а) f(x) = 2x – 1, где 1 ≤ x ≤ 4;

б) g(x) = –3x + 8, где –2 ≤ x ≤ 5.

a) $f\left(x\right)=2x-1f(x)=2x-1$, где $1\le x\le 4$

$$\begin{gathered} 1\le x\le 4 \\ 2\le 2x\le 8 \\ 1\le 2x-1\le 7 \\ E\left(f\right)=[1; 7] \end{gathered}$$

Ответ: $[1; 7][1;\; 7]$

б) $g\left(x\right)=-3x+8g(x)=-3x+8$, где $-2\le x\le 5$

$$\begin{gathered} -2\le x\le 5 \\ -15\le -3x\le 6 \\ -7\le -3x+8\le 14 \\ E\left(g\right)=[-7; 14] \end{gathered}$$

Ответ: $[-7; 14][-7;14]$

а) Функция $f(x) = 2x - 1$ является линейной. Её угловой коэффициент $k=2$ положителен, следовательно, функция является монотонно возрастающей на всей области определения, включая заданный отрезок $1 \le x \le 4$.

Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x=1$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

При $x=4$: $f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Таким образом, множество значений функции на отрезке $[1; 4]$ — это все числа от 1 до 7 включительно.

Ответ: $[1; 7]$.

б) Функция $g(x) = -3x + 8$ является линейной. Её угловой коэффициент $k=-3$ отрицателен, следовательно, функция является монотонно убывающей на всей области определения, включая заданный отрезок $-2 \le x \le 5$.

Для монотонно убывающей функции наибольшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наименьшее — в конечной.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x=-2$: $g(-2) = -3 \cdot (-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.

При $x=5$: $g(5) = -3 \cdot 5 + 8 = -15 + 8 = -7$.

Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-2; 5]$ — это все числа от -7 до 14 включительно.

Ответ: $[-7; 14]$.