Номер 1083, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1083, страница 240.

1083. Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой y = x²x² + 1.

$$\begin{gathered} y=\frac{x^2}{x^2+1} \\ {x}^2\ge 0 \\ {x}^2+1>0 \\ \frac{x^2}{x^2+1}\ge 0 \\ {x}^2+1\ne 0 \\ {x}^2\ne -1 \text{при любых значениях} x \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$E\left(y\right)=[0; 1)$, так как и дробь $\frac{x^2}{x^2+1}\backslash frac\{x^2\}\{x^2+1\}$ правильная, т.е.

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right); [0; 1)$

Область определения

Данная функция $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ является дробно-рациональной. Ее область определения — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые необходимо исключить: $x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Значит, знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (точнее, $x^2 + 1 \ge 1$).

Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ нет, и функция определена на всей числовой оси.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений

Множество значений — это совокупность всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для нахождения множества значений проанализируем выражение $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.

1. Оценим нижнюю границу. Так как числитель $x^2 \ge 0$ и знаменатель $x^2 + 1 > 0$, то значение дроби всегда будет неотрицательным: $y \ge 0$. Наименьшее значение достигается при $x = 0$, когда $y = \frac{0^2}{0^2 + 1} = 0$. Таким образом, $0$ входит в множество значений.

2. Оценим верхнюю границу. Преобразуем исходную формулу, выделив целую часть: $y = \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$.

Проанализируем вычитаемое $\frac{1}{x^2 + 1}$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Отсюда для обратной величины получаем: $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$.

Теперь мы можем найти границы для $y = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$. Так как мы вычитаем из 1 число из полуинтервала $(0, 1]$, то:

• Минимальное значение $y$ будет, когда вычитаемое $\frac{1}{x^2+1}$ максимально. Максимум равен 1 (при $x=0$), тогда $y_{min} = 1 - 1 = 0$.
• С ростом $|x|$, $x^2+1$ неограниченно возрастает, а дробь $\frac{1}{x^2+1}$ стремится к 0, оставаясь положительной. Следовательно, значение $y$ стремится к $1 - 0 = 1$, но никогда его не достигает.

Таким образом, значения функции $y$ принадлежат полуинтервалу $[0, 1)$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = [0; 1)$.