Номер 1090, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1090, страница 241.

1090. Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой:

Каково множество значений функции?

a) $y=x^3-8xy=x^3-8x$, где $-3\le x\le 3$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-3	8	7	0	-7	-8	3

$E\left(y\right)=[-8; 8]$

 

б) $y=\frac{4}{x+2}y=\backslash frac\{4\}\{x+2\}$, где $-1,5\le x\le 6$

x	-1,5	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	8	4	2	43	1	45	23	47	12

$E\left(y\right)=\left[\frac{1}{2}; 8\right]$

а) $y = x^3 - 8x$, где $-3 \le x \le 3$.

1. Составим таблицу значений функции.

Для построения графика выберем несколько целочисленных значений $x$ из отрезка $[-3, 3]$, а также добавим точки локальных экстремумов для большей точности.

$x$	$y = x^3 - 8x$
-3	$(-3)^3 - 8(-3) = -27 + 24 = -3$
-2	$(-2)^3 - 8(-2) = -8 + 16 = 8$
$-\frac{2\sqrt{6}}{3} \approx -1.63$	$\frac{32\sqrt{6}}{9} \approx 8.71$ (локальный максимум)
-1	$(-1)^3 - 8(-1) = -1 + 8 = 7$
0	$0^3 - 8(0) = 0$
1	$1^3 - 8(1) = 1 - 8 = -7$
$\frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.63$	$-\frac{32\sqrt{6}}{9} \approx -8.71$ (локальный минимум)
2	$2^3 - 8(2) = 8 - 16 = -8$
3	$3^3 - 8(3) = 27 - 24 = 3$

2. Построение графика.

График функции – это кубическая парабола. На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной кривой, учитывая, что в точках $x \approx -1.63$ и $x \approx 1.63$ находятся "вершины" изгибов графика.

3. Нахождение множества значений функции.

Множество значений функции на отрезке – это все значения, которые принимает функция, от ее наименьшего до наибольшего значения на этом отрезке. Наименьшее и наибольшее значения ищутся среди значений функции на концах отрезка и в точках экстремума.

Найдем производную функции: $y' = (x^3 - 8x)' = 3x^2 - 8$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{8}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Обе критические точки $x_1 = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$ и $x_2 = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ принадлежат отрезку $[-3, 3]$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $y(-3) = -3$
• $y(3) = 3$
• $y(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = \frac{32\sqrt{6}}{9}$ (локальный максимум)
• $y(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = -\frac{32\sqrt{6}}{9}$ (локальный минимум)

Сравнивая эти значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-\frac{32\sqrt{6}}{9}$, а наибольшее равно $\frac{32\sqrt{6}}{9}$.

Таким образом, множество значений функции $E(y)$ на отрезке $[-3, 3]$ есть отрезок $[-\frac{32\sqrt{6}}{9}, \frac{32\sqrt{6}}{9}]$.

Ответ: Множество значений функции: $[-\frac{32\sqrt{6}}{9}, \frac{32\sqrt{6}}{9}] $.

---

б) $y = \frac{4}{x+2}$, где $-1,5 \le x \le 6$.

1. Составим таблицу значений функции.

$x$	$y = \frac{4}{x+2}$
-1,5	$\frac{4}{-1.5+2} = \frac{4}{0.5} = 8$
-1	$\frac{4}{-1+2} = 4$
0	$\frac{4}{0+2} = 2$
2	$\frac{4}{2+2} = 1$
6	$\frac{4}{6+2} = \frac{4}{8} = 0.5$

2. Построение графика.

График функции – это часть гиперболы $y = \frac{4}{x}$, смещенной на 2 единицы влево. На заданном отрезке $[-1.5, 6]$ функция является убывающей. На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной кривой.

3. Нахождение множества значений функции.

Чтобы найти множество значений, исследуем поведение функции на отрезке $[-1.5, 6]$. Найдем производную:

$y' = (\frac{4}{x+2})' = -\frac{4}{(x+2)^2}$.

Поскольку знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен на области определения, производная $y'$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция является монотонно убывающей на всем заданном отрезке.

Для монотонно убывающей функции на отрезке ее наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее – в правом.

• Наибольшее значение: $y_{max} = y(-1.5) = \frac{4}{-1.5+2} = 8$.
• Наименьшее значение: $y_{min} = y(6) = \frac{4}{6+2} = 0.5$.

Следовательно, множество значений функции $E(y)$ на отрезке $[-1.5, 6]$ есть отрезок $[0.5, 8]$.

Ответ: Множество значений функции: $[0.5, 8]$.