Номер 1089, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1089, страница 241.

1089. По графику функции y = |x| (см. рис. 52) найдите, при каких значениях x:

а) |x| = 3,5;

б) |x| ‹ 2;

в) |x| ≥ 4.

Каково наименьшее значение функции? Имеет ли она наибольшее значение? Каково множество значений функции?

а) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=3,5|x|=3,5$ при

$x=-3,5x=-3,5$ и $x=3,5x=3,5$

б) при

в) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 4$ при

$x\le -4x\; \backslash le\; -4$ или $x\ge 4x\; \backslash ge\; 4$

Наименьшее значение функции $y=0y=0$

Наибольшего значения нет.

$E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty })$

Для решения задачи используется график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

а) $|x| = 3,5$

Чтобы решить уравнение $|x| = 3,5$ графически, необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции $y = |x|$ и горизонтальной прямой $y = 3,5$. Эта прямая пересекает график в двух точках, симметричных относительно оси OY.

Для правой ветви графика ($y = x$ при $x \ge 0$) получаем уравнение $x = 3,5$.

Для левой ветви графика ($y = -x$ при $x < 0$) получаем уравнение $-x = 3,5$, откуда $x = -3,5$.

Ответ: $x = -3,5$; $x = 3,5$.

б) $|x| < 2$

Чтобы решить неравенство $|x| < 2$ графически, нужно найти те значения $x$, для которых точки графика функции $y = |x|$ расположены ниже прямой $y = 2$.

Сначала находим точки пересечения графиков $y = |x|$ и $y = 2$. Из уравнения $|x| = 2$ следует, что $x = 2$ и $x = -2$.

График $y = |x|$ находится ниже прямой $y = 2$ на интервале между точками $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $-2 < x < 2$.

в) $|x| \ge 4$

Чтобы решить неравенство $|x| \ge 4$ графически, нужно найти те значения $x$, для которых точки графика функции $y = |x|$ расположены на прямой $y = 4$ или выше нее.

Сначала находим точки пересечения графиков $y = |x|$ и $y = 4$. Из уравнения $|x| = 4$ следует, что $x = 4$ и $x = -4$.

График $y = |x|$ находится на прямой $y=4$ или выше нее при $x$, меньших или равных $-4$, и при $x$, больших или равных $4$.

Ответ: $x \le -4$ или $x \ge 4$.

Каково наименьшее значение функции?

Наименьшее значение функции $y = |x|$ достигается в точке ее минимума (вершине), которая находится в начале координат $(0, 0)$. Значение функции в этой точке равно $y = |0| = 0$. Так как модуль любого числа всегда неотрицателен, т.е. $|x| \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.

Имеет ли она наибольшее значение?

Лучи графика $y = |x|$ уходят вверх бесконечно. Это означает, что для сколь угодно большого числа $M$ всегда можно найти такое значение $x$ (например, $x > M$), что $|x| > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху и не имеет наибольшего значения.

Ответ: Нет, наибольшего значения функция не имеет.

Каково множество значений функции?

Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно 0 и она может принимать любое положительное значение, то множество значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: Множество значений функции: $[0; +\infty)$.