Номер 1096, страница 243 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1096, страница 243.

1096. Решите квадратное уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2+7x+12=0 \\ D=7^2-4·1·12=49-48=1 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{-7\pm 1}{2} \\ {x}_1=-3; x_2=-4 \end{gathered}$$

Ответ: -4; -3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2-2x-35=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-35\right)=4+140=144 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{2\pm 12}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-5 \end{gathered}$$

Ответ: -5; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2x^2-5x-3=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·2·\left(-3\right)=25+24=49 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}; x=\frac{5\pm 7}{4} \\ {x}_1=3; x_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}; 3-\backslash frac\{1\}\{2\};\; 3$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}3x^2-8x+5=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·3·5=64-60=4 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{6}; x=\frac{8\pm 2}{6} \\ {x}_1=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}; x_2=1 \end{gathered}$$

Ответ: 1; $1\frac{2}{3}1\backslash frac\{2\}\{3\}$

а) $x^2 + 7x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 1$, $b = 7$, $c = 12$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Ответ: -4; -3.

б) $x^2 - 2x - 35 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -2$, $c = -35$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Ответ: -5; 7.

в) $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Ответ: -0.5; 3.

г) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b = -8$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1; $1\frac{2}{3}$.