Номер 1103, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1103, страница 247.

1103. Для функции y = f(x), график которой изображён на рисунке 67, укажите:

1) D(f);

2) E(f);

3) нули функции;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки монотонности;

6) f(–3) и f(1).

a) 1) D(f)=[-6; 6]

2) E(f)=[-6; 6]

3) у=0 при х=-5; х=1

4) у>0 при х∈(-5;1)

у<0 при х∈[-6; -5) и (1; 6]

5) функция возрастает на промежутках [-6;-2] и [4;6]; функция убивает на промежутке [-2;4]

6) f(-3)=5; f(1)=0

б) 1) D(f)=[-6; 5]

2) E(f)=[-4; 6]

3) у=о при х=-2,9; x=2; x=4

4) у>0 при х∈[-6;-2,9); (2;4)

у<0 при х∈(-2,9; 2); (4;5]

5) функция возрастает на промежутках [-6;-4] и [-1;3); функция убывай на промежутках [-4;-1] и [3;5]

6) f(-3)=0,5; f(1)=-2

в) 1) D(f)=[-6; 6]

2) E(f)=[-5; 4]

3) y=0 при x=-5; x=-1; x=2

4) у>0 при х∈(-5;-1) и (2;6]

у<0 при х∈[-6;-5) и (-1;2)

5) функция возрастает на промежутках [-6;-3] и [0;6]; функция убывает на промежутке [-3;0]

6) f(-3)=3; f(1)=-1

а)

1) D(f): Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Это проекция графика на ось абсцисс ($Ox$). По графику видно, что функция определена для всех $x$ от -4 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-4; 5]$.

2) E(f): Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Это проекция графика на ось ординат ($Oy$). Наименьшее значение функции, которое достигается в точке $x=4$, равно -2. Наибольшее значение, достигаемое в точке $x=-2$, равно 3.
Ответ: $E(f) = [-2; 3]$.

3) Нули функции: Это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. График пересекает ось абсцисс в точке $x=1$ и в точке, абсцисса которой приблизительно равна -3,7.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 \approx -3,7$.

4) Промежутки знакопостоянства: Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (больше или меньше нуля).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на интервале между нулями функции.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках от левой границы области определения до первого нуля и от второго нуля до правой границы области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3,7; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -3,7) \cup (1; 5]$.

5) Промежутки монотонности: Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.

• Функция возрастает, когда её график идёт вверх при движении слева направо. Это происходит на отрезках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=4$ до $x=5$.
• Функция убывает, когда её график идёт вниз. Это происходит на отрезке от $x=-2$ до $x=4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[4; 5]$; убывает на промежутке $[-2; 4]$.

6) f(-3) и f(1): Чтобы найти значение функции в точке, нужно найти на графике точку с заданной абсциссой и определить её ординату.

• Для $x=-3$, находим на графике точку с этой абсциссой. Её ордината равна 2.
• Для $x=1$, точка лежит на оси абсцисс, следовательно, её ордината равна 0.

Ответ: $f(-3) = 2$, $f(1) = 0$.

б)

1) D(f): Область определения функции. График существует для $x$ от -4 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-4; 5]$.

2) E(f): Область значений функции. Наименьшее значение $y=-2$ (при $x=1$), наибольшее значение $y=4$ (при $x=-2$).
Ответ: $E(f) = [-2; 4]$.

3) Нули функции: Абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что это $x=-1$, $x=3$ и $x=5$.
Ответ: $x = -1, x = 3, x = 5$.

4) Промежутки знакопостоянства:

• $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$): при $x$ от -4 до -1 и от 3 до 5.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$): при $x$ от -1 до 3.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [-4; -1) \cup (3; 5)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 3)$.

5) Промежутки монотонности:

• Возрастает (график идёт вверх): на отрезках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=1$ до $x=4$.
• Убывает (график идёт вниз): на отрезках от $x=-2$ до $x=1$ и от $x=4$ до $x=5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[1; 4]$; убывает на промежутках $[-2; 1]$ и $[4; 5]$.

6) f(-3) и f(1):

• При $x=-3$, точка находится на отрезке, соединяющем $(-4, 2)$ и $(-2, 4)$. Посередине этого отрезка по $x$ находится точка с абсциссой -3, её ордината будет 3.
• При $x=1$, график проходит через точку $(1, -2)$.

Ответ: $f(-3) = 3$, $f(1) = -2$.

в)

1) D(f): Область определения функции. График существует для $x$ от -4 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-4; 5]$.

2) E(f): Область значений функции. Наименьшее значение $y=-1$ (при $x=1$), наибольшее значение $y=3$ (при $x=5$).
Ответ: $E(f) = [-1; 3]$.

3) Нули функции: Абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что это $x=-3$, $x=0$ и $x=2$.
Ответ: $x = -3, x = 0, x = 2$.

4) Промежутки знакопостоянства:

• $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$): при $x$ от -3 до 0 и от 2 до 5.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$): при $x$ от -4 до -3 и от 0 до 2.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 0) \cup (2; 5]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -3) \cup (0; 2)$.

5) Промежутки монотонности:

• Возрастает (график идёт вверх): на отрезках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=1$ до $x=5$.
• Убывает (график идёт вниз): на отрезке от $x=-2$ до $x=1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[1; 5]$; убывает на промежутке $[-2; 1]$.

6) f(-3) и f(1):

• При $x=-3$, точка лежит на оси абсцисс, это один из нулей функции.
• При $x=1$, на графике находится точка локального минимума.

Ответ: $f(-3) = 0$, $f(1) = -1$.