Номер 1106, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1106, страница 248.

1106. Найдите нули функции (если они существуют):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=-0,8x+12 \\ -0,8x+12=0 \\ -0,8x=-12 \\ x=\frac{-12}{-0,8} \\ x=\frac{120}{8} \\ x=15 \end{gathered}$$

Ответ: 15

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\left(3x-10\right)\left(x+6\right) \\ \left(3x-10\right)\left(x+6\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}3x-10=0& \text{или}& x+6=0\\ 3x=10& & x=-6\\ x=\frac{10}{3} \\ x=3\frac{1}{3}& & \end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -6 и $3\frac{1}{3}3\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{4+2x}{x^2+5} \\ \frac{4+2x}{x^2+5}=0 \\ \begin{array}{lcl}4+2x=0& \text{и}& x^2+5\ne 0\\ 2x=-4& & x^2\ne -5\\ x=-2& & \end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\frac{6}{\left(x-1\right)\left(x+8\right)} \\ \frac{6}{\left(x-1\right)\left(x+8\right)}=0 \end{gathered}$$

Ответ: нулей нет

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $y = 0$.

а) $y = -0,8x + 12$

Приравниваем функцию к нулю:

$-0,8x + 12 = 0$

Переносим 12 в правую часть уравнения:

$-0,8x = -12$

Делим обе части на -0,8:

$x = \frac{-12}{-0,8} = \frac{12}{0,8} = \frac{120}{8} = 15$

Ответ: 15.

б) $y = (3x - 10)(x + 6)$

Приравниваем функцию к нулю:

$(3x - 10)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждую скобку:

$3x - 10 = 0$ или $x + 6 = 0$

Решаем первое уравнение:

$3x = 10$

$x_1 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Решаем второе уравнение:

$x_2 = -6$

Ответ: -6; $3\frac{1}{3}$.

в) $y = \frac{4 + 2x}{x^2 + 5}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{4 + 2x}{x^2 + 5} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Сначала приравняем числитель к нулю:

$4 + 2x = 0$

$2x = -4$

$x = -2$

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при $x = -2$:

$x^2 + 5 = (-2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9$

Так как $9 \neq 0$, то $x = -2$ является нулем функции. (Стоит отметить, что знаменатель $x^2+5$ всегда положителен при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$).

Ответ: -2.

г) $y = \frac{6}{(x - 1)(x + 8)}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{6}{(x - 1)(x + 8)} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 6.

Уравнение $6 = 0$ не имеет решений, так как 6 не равно 0. Следовательно, данная функция не имеет нулей.

Ответ: нулей не существует.