Номер 1113, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1113, страница 248.

1113. Сравните числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5}{7}>\frac{4}{9} \\ \frac{45}{63}>\frac{28}{63} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{38}{39}>\frac{11}{12} \\ \frac{152}{156}>\frac{143}{156} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3,12<3\frac{1}{8} \\ 3,12<3,125 \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{г) }}17,2\left(7\right)>17,27$

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{4}{9}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 равен их произведению, так как они взаимно простые числа: $7 \times 9 = 63$.
Приведем первую дробь к знаменателю 63:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$
Приведем вторую дробь к знаменателю 63:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 7}{9 \times 7} = \frac{28}{63}$
Теперь сравним полученные дроби. Так как у них одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $45 > 28$.
Следовательно, $\frac{45}{63} > \frac{28}{63}$, а значит $\frac{5}{7} > \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{7} > \frac{4}{9}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{38}{39}$ и $\frac{11}{12}$, можно сравнить, насколько каждая из них меньше единицы. Обе дроби правильные, то есть меньше 1.
Найдем разность между 1 и первой дробью:
$1 - \frac{38}{39} = \frac{39}{39} - \frac{38}{39} = \frac{1}{39}$
Найдем разность между 1 и второй дробью:
$1 - \frac{11}{12} = \frac{12}{12} - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$
Теперь нужно сравнить дроби $\frac{1}{39}$ и $\frac{1}{12}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) большей будет та, у которой знаменатель меньше.
Так как $12 < 39$, то $\frac{1}{12} > \frac{1}{39}$.
Это означает, что дробь $\frac{11}{12}$ отстоит от единицы на большее расстояние, чем дробь $\frac{38}{39}$. Следовательно, дробь $\frac{38}{39}$ ближе к единице, а значит, она больше.
Ответ: $\frac{38}{39} > \frac{11}{12}$.

в) Чтобы сравнить числа $3,12$ и $3\frac{1}{8}$, представим их в одном виде, например, в виде десятичных дробей.
Первое число уже является десятичной дробью: $3,12$.
Второе число $3\frac{1}{8}$ переведем в десятичную дробь. Для этого переведем дробную часть $\frac{1}{8}$ в десятичную дробь, разделив 1 на 8:
$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$
Таким образом, $3\frac{1}{8} = 3 + 0,125 = 3,125$.
Теперь сравним десятичные дроби $3,12$ и $3,125$. Для удобства можно записать $3,12$ как $3,120$.
Сравниваем $3,120$ и $3,125$. Целые части равны (3), десятые доли равны (1), сотые доли равны (2). Сравниваем тысячные доли: у первого числа 0, у второго 5.
Так как $0 < 5$, то $3,120 < 3,125$.
Следовательно, $3,12 < 3\frac{1}{8}$.
Ответ: $3,12 < 3\frac{1}{8}$.

г) Чтобы сравнить числа $17,2(7)$ и $17,27$, распишем их в развернутом виде.
Первое число $17,2(7)$ — это периодическая десятичная дробь, где цифра 7 повторяется бесконечно:
$17,2(7) = 17,2777...$
Второе число $17,27$ — это конечная десятичная дробь. Её можно представить с бесконечным количеством нулей на конце:
$17,27 = 17,2700...$
Теперь сравним эти два числа поразрядно, двигаясь слева направо.
Целые части равны: $17 = 17$.
Разряд десятых равен: $2 = 2$.
Разряд сотых равен: $7 = 7$.
Разряд тысячных: у первого числа это 7, у второго — 0.
Так как $7 > 0$, то первое число больше второго.
$17,2777... > 17,2700...$
Следовательно, $17,2(7) > 17,27$.
Ответ: $17,2(7) > 17,27$.