Номер 3, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 3, страница 249.

3. Дайте определение возрастающей (убывающей) функции. Приведите примеры функции, возрастающей на промежутке; убывающей на промежутке. Назовите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 64.

Определение. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Примером возрастающей функции может служить линейная функция y=kx+b, где k>0, примером убывающей функции может служить линейная функция y=kx+b, где k<0.

Промежутки возрастания: [-4;-1] и [2;5], промежутки убывания: [-7;-4] и [-1;2]

Дайте определение возрастающей (убывающей) функции.

Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция $y=f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, верно $f(x_2) > f(x_1)$. Функция называется убывающей, если при тех же условиях для $x_1, x_2$ верно $f(x_2) < f(x_1)$.

Приведите примеры функции, возрастающей на промежутке; убывающей на промежутке.

Пример функции, возрастающей на промежутке: квадратичная функция $y = x^2$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Например, возьмем $x_1=2$ и $x_2=3$. Так как $3 > 2$, то $f(3) > f(2)$, то есть $9 > 4$.

Пример функции, убывающей на промежутке: та же квадратичная функция $y = x^2$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$. Например, возьмем $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Так как $-2 > -3$, то $f(-2) < f(-3)$, то есть $4 < 9$.

Ответ: Пример функции, возрастающей на промежутке: $y=x^2$ на $[0; +\infty)$. Пример функции, убывающей на промежутке: $y=x^2$ на $(-\infty; 0]$.

Назовите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 64.

Поскольку изображение графика функции (рисунок 64) не предоставлено, невозможно точно определить промежутки ее возрастания и убывания. Ниже приведено решение для гипотетического графика.

Предположим, что на рисунке 64 изображен график функции, которая возрастает на промежутке от минус бесконечности до $x=-1$, затем убывает на промежутке от $x=-1$ до $x=4$, и снова возрастает на промежутке от $x=4$ до плюс бесконечности. Точки $x=-1$ и $x=4$ являются точками экстремума (максимума и минимума соответственно) и включаются в оба промежутка.

Тогда промежутками возрастания будут $(-\infty; -1]$ и $[4; +\infty)$.

Промежутком убывания будет $[-1; 4]$.

Ответ: Так как график функции не предоставлен, точный ответ дать невозможно. Для гипотетической функции, описанной выше, промежутки возрастания: $(-\infty; -1]$ и $[4; +\infty)$; промежуток убывания: $[-1; 4]$.