Номер 1120, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1120, страница 251.

1120. Функция задана формулой f(x) = –1,5х + 6. При каких значениях х выполняются условия 0 ≤ f(x) ≤ 3? Получите ответ алгебраическим способом и проиллюстрируйте на графике.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-1,5x+6f(x)=-1,5x+6 \\ 0\le f\left(x\right)\le 30\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; 3 \\ 0\le -1,5x+6\le 30\; \backslash le\; -1,5\; x+6\; \backslash le\; 3 \\ -6\le -1,5x\le -3-6\; \backslash le\; -1,5x\; \backslash le\; -3 \\ 2\le x\le 42\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 4 \end{gathered}$$

Алгебраический способ

Дана функция $f(x) = -1,5x + 6$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется двойное неравенство $0 \le f(x) \le 3$.

Подставим в неравенство выражение для функции $f(x)$:
$0 \le -1,5x + 6 \le 3$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух линейных неравенств:
$ \begin{cases} -1,5x + 6 \ge 0 \\ -1,5x + 6 \le 3 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы.
1) Решаем первое неравенство:
$-1,5x + 6 \ge 0$
$-1,5x \ge -6$
Разделим обе части на $-1,5$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:
$x \le \frac{-6}{-1,5}$
$x \le 4$

2) Решаем второе неравенство:
$-1,5x + 6 \le 3$
$-1,5x \le 3 - 6$
$-1,5x \le -3$
Снова разделим обе части на $-1,5$ и изменим знак неравенства:
$x \ge \frac{-3}{-1,5}$
$x \ge 2$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge 2$ и $x \le 4$.
Это соответствует отрезку $[2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

Иллюстрация на графике

Графиком функции $y = f(x) = -1,5x + 6$ является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = -1,5 \cdot 0 + 6 = 6$. Получаем точку $(0; 6)$.
- Точка пересечения с осью OX: при $y=0$, $0 = -1,5x + 6$, откуда $1,5x = 6$, $x=4$. Получаем точку $(4; 0)$.

Условие $0 \le f(x) \le 3$ означает, что нас интересует та часть графика, ординаты ($y$) которой лежат в пределах от 0 до 3 включительно. Эта область на плоскости заключена между горизонтальными прямыми $y=0$ (ось абсцисс) и $y=3$.

Найдем абсциссы ($x$) точек пересечения графика функции с этими прямыми:
- Если $f(x) = 0$, то $x=4$. Точка пересечения — $(4; 0)$.
- Если $f(x) = 3$, то $3 = -1,5x + 6$, откуда $-1,5x = -3$, $x=2$. Точка пересечения — $(2; 3)$.

Следовательно, условие $0 \le f(x) \le 3$ выполняется для всех $x$ из отрезка $[2; 4]$. На графике это отрезок прямой, соединяющий точки $(2; 3)$ и $(4; 0)$.

Ответ: График показывает, что значения $f(x)$ находятся в интервале $[0; 3]$ при $x \in [2; 4]$.