Страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1118. Функция задана формулой f(x) = 13x – 78. При каких значениях x:

а) f(x) = 0;

б) f(x) > 0;

в) f(x) ‹ 0?

Является ли функция возрастающей или убывающей?

f(x)=13x-78

a) f(x)=0

13x-78=0

13x=78

x=$\frac{78}{13}\backslash frac\{78\}\{13\}$

x=6

б) f(x)>0 при x∈(6;+∞)

в) f(x)<0 при x∈(-∞; 6)

Функция является возрастающей, т.к. k=13>0

Для решения задачи воспользуемся заданной формулой функции $f(x) = 13x - 78$.

Чтобы найти значения $x$, при которых значение функции равно нулю, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$:
$13x - 78 = 0$
Перенесем слагаемое -78 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$13x = 78$
Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти $x$:
$x = \frac{78}{13}$
$x = 6$
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 6$.

Чтобы найти значения $x$, при которых значение функции положительно, необходимо решить неравенство $f(x) > 0$:
$13x - 78 > 0$
Перенесем слагаемое -78 в правую часть неравенства:
$13x > 78$
Разделим обе части неравенства на 13. Так как 13 — положительное число, знак неравенства не изменяется:
$x > \frac{78}{13}$
$x > 6$
Ответ: $f(x) > 0$ при $x > 6$, то есть для всех $x$ из интервала $(6; +\infty)$.

Чтобы найти значения $x$, при которых значение функции отрицательно, необходимо решить неравенство $f(x) < 0$:
$13x - 78 < 0$
Перенесем слагаемое -78 в правую часть неравенства:
$13x < 78$
Разделим обе части неравенства на 13:
$x < \frac{78}{13}$
$x < 6$
Ответ: $f(x) < 0$ при $x < 6$, то есть для всех $x$ из интервала $(-\infty; 6)$.

Функция $f(x) = 13x - 78$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Характер монотонности (возрастание или убывание) линейной функции определяется знаком ее углового коэффициента $k$.
В данном случае угловой коэффициент $k = 13$.
Поскольку $k > 0$ ($13 > 0$), функция является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ также увеличивается.
Ответ: функция является возрастающей.

1119. На рисунке 69 изображён график линейной функции y = f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции верны?

В ответе запишите их номера.

1) Функция является убывающей.

2) x = – 4 — нуль функции.

3) f(2) = 0.

4) На промежутке (–∞; – 4) функция принимает отрицательные значения.

Ответ: 2); 4)

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить его истинность.

1) Функция является убывающей.
Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. На представленном графике видно, что при движении по оси $x$ слева направо (увеличении $x$) график функции идет вверх, то есть значение $y$ увеличивается. Следовательно, данная функция является возрастающей.
Ответ: утверждение неверно.

2) $x = -4$ — нуль функции.
Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Графически это соответствует точке пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из рисунка видно, что график пересекает ось $Ox$ именно в точке, где $x = -4$.
Ответ: утверждение верно.

3) $f(2) = 0$.
Чтобы найти значение функции $f(2)$, нужно найти на оси $x$ точку со значением 2, затем подняться от нее до пересечения с графиком функции и определить соответствующее значение по оси $y$. Для $x=2$ значение $y$ на графике равно 3. Таким образом, $f(2) = 3$, а не 0.
Ответ: утверждение неверно.

4) На промежутке $(-\infty; -4)$ функция принимает отрицательные значения.
Промежуток $(-\infty; -4)$ означает все значения $x$, которые меньше $-4$. Посмотрим на часть графика, которая соответствует этому промежутку (левее точки $x = -4$). Вся эта часть графика находится ниже оси $Ox$, что означает, что значения функции $y$ на данном промежутке отрицательны.
Ответ: утверждение верно.

Итак, верными являются утверждения под номерами 2 и 4. В ответ необходимо записать их номера.

Ответ: 24

1120. Функция задана формулой f(x) = –1,5х + 6. При каких значениях х выполняются условия 0 ≤ f(x) ≤ 3? Получите ответ алгебраическим способом и проиллюстрируйте на графике.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-1,5x+6f(x)=-1,5x+6 \\ 0\le f\left(x\right)\le 30\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; 3 \\ 0\le -1,5x+6\le 30\; \backslash le\; -1,5\; x+6\; \backslash le\; 3 \\ -6\le -1,5x\le -3-6\; \backslash le\; -1,5x\; \backslash le\; -3 \\ 2\le x\le 42\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 4 \end{gathered}$$

Алгебраический способ

Дана функция $f(x) = -1,5x + 6$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется двойное неравенство $0 \le f(x) \le 3$.

Подставим в неравенство выражение для функции $f(x)$:
$0 \le -1,5x + 6 \le 3$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух линейных неравенств:
$ \begin{cases} -1,5x + 6 \ge 0 \\ -1,5x + 6 \le 3 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы.
1) Решаем первое неравенство:
$-1,5x + 6 \ge 0$
$-1,5x \ge -6$
Разделим обе части на $-1,5$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:
$x \le \frac{-6}{-1,5}$
$x \le 4$

2) Решаем второе неравенство:
$-1,5x + 6 \le 3$
$-1,5x \le 3 - 6$
$-1,5x \le -3$
Снова разделим обе части на $-1,5$ и изменим знак неравенства:
$x \ge \frac{-3}{-1,5}$
$x \ge 2$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge 2$ и $x \le 4$.
Это соответствует отрезку $[2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

Иллюстрация на графике

Графиком функции $y = f(x) = -1,5x + 6$ является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = -1,5 \cdot 0 + 6 = 6$. Получаем точку $(0; 6)$.
- Точка пересечения с осью OX: при $y=0$, $0 = -1,5x + 6$, откуда $1,5x = 6$, $x=4$. Получаем точку $(4; 0)$.

Условие $0 \le f(x) \le 3$ означает, что нас интересует та часть графика, ординаты ($y$) которой лежат в пределах от 0 до 3 включительно. Эта область на плоскости заключена между горизонтальными прямыми $y=0$ (ось абсцисс) и $y=3$.

Найдем абсциссы ($x$) точек пересечения графика функции с этими прямыми:
- Если $f(x) = 0$, то $x=4$. Точка пересечения — $(4; 0)$.
- Если $f(x) = 3$, то $3 = -1,5x + 6$, откуда $-1,5x = -3$, $x=2$. Точка пересечения — $(2; 3)$.

Следовательно, условие $0 \le f(x) \le 3$ выполняется для всех $x$ из отрезка $[2; 4]$. На графике это отрезок прямой, соединяющий точки $(2; 3)$ и $(4; 0)$.

Ответ: График показывает, что значения $f(x)$ находятся в интервале $[0; 3]$ при $x \in [2; 4]$.

1121. Линейная функция задана формулой у = kх + 10, где k — некоторое число. В каких координатных четвертях расположен график этой функции, если известно, что:

а) k > 0;

б) k ‹ 0;

в) k = 0?

y=kx+10

a) k>0

Ответ: І, ІІ, ІІІ

б) k<0

Ответ: І, ІІ, IV

в) k=0

Ответ: І, ІІ

График линейной функции $y = kx + b$ — это прямая линия. В нашем случае функция задана формулой $y = kx + 10$, следовательно, коэффициент $b = 10$.

Коэффициент $b$ определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Так как $b = 10 > 0$, график функции пересекает ось $y$ в точке $(0, 10)$. Эта точка лежит на положительной части оси $y$, то есть выше оси абсцисс (оси $x$).

Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Знак коэффициента $k$ показывает, возрастает или убывает функция.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Если $k > 0$, то функция является возрастающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Прямая "поднимается" слева направо. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$), для этого приравняем $y$ к нулю: $kx + 10 = 0$ $kx = -10$ $x = -10/k$ Поскольку $k > 0$, значение $x = -10/k$ будет отрицательным. Таким образом, график пересекает ось $x$ в точке с отрицательной абсциссой. Итак, график проходит через точку $(0, 10)$ на положительной части оси $y$ и через точку $(-10/k, 0)$ на отрицательной части оси $x$. Прямая, соединяющая эти точки, будет проходить через:

• II координатную четверть (где $x < 0, y > 0$);
• I координатную четверть (где $x > 0, y > 0$);
• III координатную четверть (где $x < 0, y < 0$).

График не заходит в IV четверть, так как для всех $x > 0$ значение $y = kx + 10$ будет больше 10, то есть положительным.
Ответ: I, II и III координатные четверти.

Если $k < 0$, то функция является убывающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Прямая "опускается" слева направо. Точка пересечения с осью $y$ остается прежней: $(0, 10)$. Найдем точку пересечения с осью $x$: $kx + 10 = 0$ $x = -10/k$ Поскольку $k < 0$, значение $x = -10/k$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел). Таким образом, график пересекает ось $x$ в точке с положительной абсциссой. Итак, график проходит через точку $(0, 10)$ на положительной части оси $y$ и через точку $(-10/k, 0)$ на положительной части оси $x$. Прямая, соединяющая эти точки, будет проходить через:

• II координатную четверть (где $x < 0, y > 0$);
• I координатную четверть (где $x > 0, y > 0$);
• IV координатную четверть (где $x > 0, y < 0$).

График не заходит в III четверть, так как для всех $x < 0$ значение $y = kx + 10$ будет больше 10, то есть положительным.
Ответ: I, II и IV координатные четверти.

Если $k = 0$, то формула функции принимает вид $y = 0 \cdot x + 10$, то есть $y = 10$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату $y$), равную 10. Поскольку значение $y$ всегда равно 10 (положительное число), график функции полностью расположен выше оси $x$.

• Когда $x > 0$, точки графика находятся в I координатной четверти.
• Когда $x < 0$, точки графика находятся во II координатной четверти.

График не пересекает ось $x$ и не заходит в III и IV четверти, где $y < 0$.
Ответ: I и II координатные четверти.

1122. Функция задана формулой у = kх + b, где k и b — некоторые числа. Покажите схематически, как располагается график в координатной плоскости, если:

$y=kx+by=kx+b$

a) k>0, b>0

б) k<0, b>0

в) k<0, b=0

г) k<0, b<0

д) k=0, b<0

Функция, заданная формулой $y = kx + b$, представляет собой линейную функцию, графиком которой является прямая линия. Положение этой прямой на координатной плоскости зависит от знаков коэффициентов $k$ и $b$.

• Коэффициент $k$ — это угловой коэффициент, который определяет наклон прямой.
  • Если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо), и угол наклона к положительному направлению оси Ox — острый.
  • Если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз слева направо), и угол наклона к положительному направлению оси Ox — тупой.
  • Если $k = 0$, то функция имеет вид $y = b$, и ее график — прямая, параллельная оси Ox.
• Коэффициент $b$ — это свободный член, который показывает точку пересечения графика с осью Oy.
  • Если $b > 0$, прямая пересекает ось Oy выше начала координат в точке $(0, b)$.
  • Если $b < 0$, прямая пересекает ось Oy ниже начала координат в точке $(0, b)$.
  • Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат $(0, 0)$.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

а) $k > 0, b > 0$

Так как $k > 0$, функция возрастает. Поскольку $b > 0$, график пересекает ось ординат (Oy) в точке выше начала координат. Возрастающая прямая, пересекающая ось Oy в положительной части, обязательно будет пересекать ось абсцисс (Ox) в отрицательной части. Точка пересечения с осью Ox находится из условия $y=0$, то есть $kx+b=0$, откуда $x = -b/k$. При $k > 0$ и $b > 0$, значение $x$ будет отрицательным. Следовательно, график проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График — возрастающая прямая, проходящая через I, II и III координатные четверти.

б) $k < 0, b > 0$

Так как $k < 0$, функция убывает. Поскольку $b > 0$, график пересекает ось Oy выше начала координат. Убывающая прямая, пересекающая ось Oy в положительной части, будет пересекать ось Ox в положительной части. Точка пересечения с осью Ox: $x = -b/k$. При $k < 0$ и $b > 0$, значение $x$ будет положительным. Следовательно, график проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График — убывающая прямая, проходящая через I, II и IV координатные четверти.

в) $k < 0, b = 0$

Так как $k < 0$, функция убывает. Поскольку $b = 0$, формула принимает вид $y = kx$. Это прямая пропорциональность, график которой всегда проходит через начало координат $(0, 0)$. Убывающая прямая, проходящая через начало координат, располагается во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График — убывающая прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

г) $k < 0, b < 0$

Так как $k < 0$, функция убывает. Поскольку $b < 0$, график пересекает ось Oy ниже начала координат. Убывающая прямая, пересекающая ось Oy в отрицательной части, будет пересекать ось Ox в отрицательной части. Точка пересечения с осью Ox: $x = -b/k$. При $k < 0$ и $b < 0$, значение $x$ будет отрицательным. Следовательно, график проходит через II, III и IV координатные четверти.

Ответ: График — убывающая прямая, проходящая через II, III и IV координатные четверти.

д) $k = 0, b < 0$

Так как $k = 0$, формула функции упрощается до $y = b$. Это означает, что для любого значения $x$, значение $y$ постоянно и равно $b$. Поскольку $b < 0$, это постоянное значение отрицательно. График такой функции — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, b)$, то есть расположенная ниже оси Ox. Такая прямая целиком находится в III и IV координатных четвертях.

Ответ: График — прямая, параллельная оси Ox, расположенная ниже нее и проходящая через III и IV координатные четверти.

1123. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\mathrm{0,6}{x}^2-\mathrm{3,6}x=0 \\ x\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,6}\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& \mathrm{0,6}x-\mathrm{3,6}=0\\ & & \mathrm{0,6}x=\mathrm{3,6} \\ x=6\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 0 и 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{c}^2-5=0 \\ {c}^2=5 \\ c=\sqrt{5} \text{или} c=-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{5}-\backslash sqrt\{5\}$ и $\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2x^2+17x=0 \\ x\left(2x+17\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 2x+17=0\\ & & 2x=-17 \\ x=-\mathrm{8,5}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -8,5 и 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\mathrm{0,5}{x}^2+9=0 \\ \mathrm{0,5}{x}^2=-9 \\ {x}^2=\frac{-9}{\mathrm{0,5}} \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

а) $0,6x^2 - 3,6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $0,6x$ за скобки:

$0,6x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два возможных случая:

1) $0,6x = 0$

Отсюда $x_1 = 0$.

2) $x - 6 = 0$

Отсюда $x_2 = 6$.

Ответ: $0; 6$.

б) $c^2 - 5 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$c^2 = 5$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение будет иметь два корня, так как $5 > 0$:

$c = \pm\sqrt{5}$

То есть, $c_1 = \sqrt{5}$ и $c_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}; -\sqrt{5}$.

в) $2x^2 + 17x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 17) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два возможных случая:

1) $x_1 = 0$

2) $2x + 17 = 0$

$2x = -17$

$x_2 = -\frac{17}{2} = -8,5$

Ответ: $0; -8,5$.

г) $0,5x^2 + 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,5x^2 = -9$

Разделим обе части уравнения на $0,5$:

$x^2 = \frac{-9}{0,5}$

$x^2 = -18$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Так как правая часть уравнения отрицательна ($-18 < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

1124. Сравните g(2) и g(–2), если:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+5} \\ g\left(2\right)=\frac{1}{2^2+5}=\frac{1}{9} \\ g\left(-2\right)=\frac{1}{{\left(-2\right)}^2+5}=\frac{1}{9} \\ g\left(2\right)=g\left(-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}g\left(x\right)=\frac{x}{x^2+5} \\ g\left(2\right)=\frac{2}{2^2+5}=\frac{2}{9} \\ g\left(-2\right)=\frac{-2}{{\left(-2\right)}^2+5}=-\frac{2}{9} \\ g\left(2\right)>g\left(-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}g\left(x\right)=\frac{-x}{x^2+5} \\ g\left(2\right)=\frac{-2}{2^2+5}=-\frac{2}{9} \\ g\left(-2\right)=\frac{-\left(-2\right)}{{\left(-2\right)}^2+5}=\frac{2}{9} \\ g\left(2\right)<g\left(-2\right) \end{gathered}$$

Для того чтобы сравнить значения функции $g(x)$ в точках $2$ и $-2$, необходимо вычислить $g(2)$ и $g(-2)$ для каждого из представленных случаев.

а) Дана функция $g(x) = \frac{1}{x^2 + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 2$, подставив это значение в формулу:

$g(2) = \frac{1}{2^2 + 5} = \frac{1}{4 + 5} = \frac{1}{9}$.

2. Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$g(-2) = \frac{1}{(-2)^2 + 5} = \frac{1}{4 + 5} = \frac{1}{9}$.

3. Сравним полученные значения:

Поскольку $\frac{1}{9} = \frac{1}{9}$, то $g(2) = g(-2)$.

Также можно было определить четность функции. Функция является четной, если $g(-x) = g(x)$. Проверим: $g(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 5} = \frac{1}{x^2 + 5} = g(x)$. Так как функция четная, для любого $a$ из области определения выполняется $g(-a) = g(a)$, следовательно, $g(-2) = g(2)$.

Ответ: $g(2) = g(-2)$.

б) Дана функция $g(x) = \frac{x}{x^2 + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 2$:

$g(2) = \frac{2}{2^2 + 5} = \frac{2}{4 + 5} = \frac{2}{9}$.

2. Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$g(-2) = \frac{-2}{(-2)^2 + 5} = \frac{-2}{4 + 5} = -\frac{2}{9}$.

3. Сравним полученные значения:

Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $\frac{2}{9} > -\frac{2}{9}$, следовательно, $g(2) > g(-2)$.

Также можно было определить нечетность функции. Функция является нечетной, если $g(-x) = -g(x)$. Проверим: $g(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 5} = \frac{-x}{x^2 + 5} = -(\frac{x}{x^2 + 5}) = -g(x)$. Так как функция нечетная, для любого $a$ из области определения выполняется $g(-a) = -g(a)$. В нашем случае $g(-2) = -g(2)$. Так как $g(2)$ — положительное число, $g(-2)$ будет отрицательным, поэтому $g(2) > g(-2)$.

Ответ: $g(2) > g(-2)$.

в) Дана функция $g(x) = \frac{-x}{x^2 + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 2$:

$g(2) = \frac{-2}{2^2 + 5} = \frac{-2}{4 + 5} = -\frac{2}{9}$.

2. Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$g(-2) = \frac{-(-2)}{(-2)^2 + 5} = \frac{2}{4 + 5} = \frac{2}{9}$.

3. Сравним полученные значения:

Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного, $-\frac{2}{9} < \frac{2}{9}$, следовательно, $g(2) < g(-2)$.

Эта функция, как и предыдущая, является нечетной: $g(-x) = \frac{-(-x)}{(-x)^2 + 5} = \frac{x}{x^2 + 5} = -(\frac{-x}{x^2 + 5}) = -g(x)$. Поэтому $g(-2) = -g(2)$. Так как $g(2)$ — отрицательное число, $g(-2)$ будет положительным, поэтому $g(2) < g(-2)$.

Ответ: $g(2) < g(-2)$.

1125. Разложите на множители многочлен:

a) $4x-x^3=x\left(4-x^2\right)=x\left(2-x\right)\left(2+x\right)4x-x^3=x(4-x^2)=x(2-x)(2+x)$

б) $a^4-169a^2=a^2\left(a^2-169\right)=a^2\left(a-13\right)\left(a+13\right)a^4-\; 169\; a^2=a^2(a^2-169)=a^2(a-13)(a+13)$

в) $c^3-8c^2+16c=c\left(c^2-8c+16\right)=c{\left(c-4\right)}^2$

а) Разложим на множители многочлен $4x - x^3$.

1. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$4x - x^3 = x(4 - x^2)$

2. Выражение в скобках $4 - x^2$ представляет собой разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 2$ и $b = x$, поэтому:

$4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

3. Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$x(4 - x^2) = x(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $x(2 - x)(2 + x)$

б) Разложим на множители многочлен $a^4 - 169a^2$.

1. Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^4 - 169a^2 = a^2(a^2 - 169)$

2. Выражение в скобках $a^2 - 169$ является разностью квадратов, так как $169 = 13^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае первый член — это $a$, а второй — $13$.

$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = (a - 13)(a + 13)$

3. Запишем итоговое разложение:

$a^2(a^2 - 169) = a^2(a - 13)(a + 13)$

Ответ: $a^2(a - 13)(a + 13)$

в) Разложим на множители многочлен $c^3 - 8c^2 + 16c$.

1. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$c^3 - 8c^2 + 16c = c(c^2 - 8c + 16)$

2. Выражение в скобках $c^2 - 8c + 16$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Проверим, подходит ли наше выражение под эту формулу. Здесь $a = c$, $b^2 = 16$, значит $b = 4$. Удвоенное произведение $-2ab$ должно быть равно $-2 \cdot c \cdot 4 = -8c$. Это соответствует среднему члену нашего трехчлена.

Следовательно:

$c^2 - 8c + 16 = (c - 4)^2$

3. Запишем итоговое разложение:

$c(c^2 - 8c + 16) = c(c - 4)^2$

Ответ: $c(c - 4)^2$