Страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1136. Сравните значения выражений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}5\sqrt{2}+3\sqrt{5}<3\sqrt{7}+\sqrt{45} \\ \sqrt{50}+\sqrt{45}<\sqrt{63}+\sqrt{45} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}6\sqrt{2}-2\sqrt{7}>4\sqrt{3}-\sqrt{28} \\ \sqrt{72}-\sqrt{28}>\sqrt{48}-\sqrt{28} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5\sqrt{3}+3\sqrt{5}<\sqrt{75}+7\sqrt{2} \\ \sqrt{75}+\sqrt{45}<\sqrt{75}+\sqrt{98} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{112}-2\sqrt{5}>4\sqrt{7}-\sqrt{23} \\ \sqrt{112}-\sqrt{20}>\sqrt{112}-\sqrt{23} \end{gathered}$$

а) Сравним значения выражений $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.
Для начала упростим второе выражение. Вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{45}$:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Таким образом, второе выражение можно записать как $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.
Теперь задача сводится к сравнению выражений $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.
Поскольку слагаемое $3\sqrt{5}$ присутствует в обеих частях, мы можем его убрать и сравнить оставшиеся части: $5\sqrt{2}$ и $3\sqrt{7}$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:
$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
Поскольку $50 < 63$, то и $5\sqrt{2} < 3\sqrt{7}$.
Следовательно, $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

б) Сравним значения выражений $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.
Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{28}$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Теперь второе выражение равно $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.
Сравниваем $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.
Прибавим к обеим частям общее слагаемое $2\sqrt{7}$. Сравнение сводится к сравнению $6\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
Так как $72 > 48$, то $6\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.
Следовательно, $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.
Ответ: $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

в) Сравним значения выражений $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $\sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.
Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{75}$:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Второе выражение принимает вид $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.
Теперь сравнение выглядит так: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.
Вычтем из обеих частей общее слагаемое $5\sqrt{3}$. Сравнение сводится к сравнению $3\sqrt{5}$ и $7\sqrt{2}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.
Так как $45 < 98$, то $3\sqrt{5} < 7\sqrt{2}$.
Следовательно, $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.
Ответ: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

г) Сравним значения выражений $\sqrt{112} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.
Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{112}$:
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.
Первое выражение принимает вид $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.
Теперь нам нужно сравнить $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.
Вычтем из обеих частей общее слагаемое $4\sqrt{7}$. Сравнение сводится к сравнению $-2\sqrt{5}$ и $-\sqrt{23}$.
Для сравнения этих отрицательных чисел, сначала сравним их модули: $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{23}$.
Возведем их в квадрат:
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
$(\sqrt{23})^2 = 23$.
Так как $20 < 23$, то $2\sqrt{5} < \sqrt{23}$.
При умножении на -1 (или при сравнении отрицательных чисел) знак неравенства меняется на противоположный: $-2\sqrt{5} > -\sqrt{23}$.
Следовательно, $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.
Ответ: $\sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

1. Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.

1. Пример возрастающей линейной функции: у=5x+6; пример убывающей линейной функции: у=-5х+6.

5. При k>0 функция у=kx+b является возрастающей, а при k<0 - убывающей.

• Докажем это. Пусть x₁ и x₂ - произвольные значения аргумента, причём x₂>x₁. Обозначим через у₁ и у₂ соответствующие им значения функции:

y₁=kx₁+b и y₂=kx₂+b.

Рассмотрим разность у₂ - y₁:

$$\begin{gathered} y_2-y_1=(k{x}_2+b)-(k{x}_1+b)= \\ =k{x}_2-k{x}_1=k(x_2-x{1}_1). \end{gathered}$$

Множитель х₂ – х₁ положителен, так как х₂>x₁. Поэтому знак произведения $k({х}_2–{х}_1)$ определяется знаком коэффициента k.

Если k>0, тο $k(x_2-x_1)>0 \text{и} y_2>{у}_1.$ Значит, при k>0 функция у=kx+b является возрастающей.

Если k<0, тο $k(x_2-x_1)<0 \text{и} y_2<{у}_1.$ Значит, при k<0 функция у=kx+b является убывающей.

Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Число $k$ называется угловым коэффициентом.

Примеры возрастающей и убывающей линейной функции

Функция является возрастающей, если большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($y$).

• Пример возрастающей линейной функции: $y = 2x + 3$.
  Здесь угловой коэффициент $k=2$, что больше нуля. Если мы возьмем два значения аргумента, например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$ (где $x_2 > x_1$), то соответствующие значения функции будут $y_1 = 2(1) + 3 = 5$ и $y_2 = 2(4) + 3 = 11$. Так как $11 > 5$, мы видим, что большему значению $x$ соответствует большее значение $y$.

Функция является убывающей, если большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$).

• Пример убывающей линейной функции: $y = -0.5x + 1$.
  Здесь угловой коэффициент $k=-0.5$, что меньше нуля. Если мы возьмем те же значения аргумента, $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$, то значения функции будут $y_1 = -0.5(1) + 1 = 0.5$ и $y_2 = -0.5(4) + 1 = -2 + 1 = -1$. Так как $-1 < 0.5$, мы видим, что большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$.

Свойство монотонности линейной функции

Линейная функция $y = kx + b$ является:

• возрастающей на всей числовой оси, если ее угловой коэффициент $k > 0$;
• убывающей на всей числовой оси, если ее угловой коэффициент $k < 0$.

(Также стоит отметить, что если $k=0$, то функция $y=b$ является постоянной и не является ни возрастающей, ни убывающей).

Доказательство свойства

Для доказательства воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции. Пусть задана линейная функция $y(x) = kx + b$. Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции (вся числовая ось) так, что $x_2 > x_1$. Найдем соответствующие им значения функции: $y_1 = y(x_1) = kx_1 + b$ и $y_2 = y(x_2) = kx_2 + b$.

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$.

По нашему выбору $x_2 > x_1$, следовательно, разность $x_2 - x_1$ всегда является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака коэффициента $k$.

1. Пусть $k > 0$.
   В этом случае произведение положительного числа $k$ на положительное число $(x_2 - x_1)$ также будет положительным:
   $k(x_2 - x_1) > 0$.
   Следовательно, $y_2 - y_1 > 0$, что равносильно $y_2 > y_1$.
   Таким образом, для любых $x_2 > x_1$ выполняется $y(x_2) > y(x_1)$, что по определению означает, что функция является возрастающей.

2. Пусть $k < 0$.
   В этом случае произведение отрицательного числа $k$ на положительное число $(x_2 - x_1)$ будет отрицательным:
   $k(x_2 - x_1) < 0$.
   Следовательно, $y_2 - y_1 < 0$, что равносильно $y_2 < y_1$.
   Таким образом, для любых $x_2 > x_1$ выполняется $y(x_2) < y(x_1)$, что по определению означает, что функция является убывающей.

Свойство доказано.

Ответ: Примером возрастающей линейной функции является $y = 2x+3$, а убывающей — $y = -0.5x+1$. Свойство линейной функции: функция $y = kx + b$ возрастает при $k > 0$ и убывает при $k < 0$. Это свойство доказывается через анализ знака разности $y(x_2) - y(x_1) = k(x_2 - x_1)$ для любых $x_2 > x_1$.

2. Что называется нулём функции? Укажите нуль функции, заданной формулой y = kx + b, где k ≠ 0. Может ли линейная функция не иметь нулей?

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.

Функция обращается в нуль при $x=-\frac{b}{k}$

Линейная функция не может не иметь нулей, так как ее графиком является прямая.

Что называется нулём функции?
Нулём функции называется такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. То есть, для функции, заданной формулой $y = f(x)$, нулём будет такое значение $x_0$, для которого выполняется равенство $f(x_0) = 0$. Геометрически нули функции — это абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox).
Ответ: Нулём функции называется значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Укажите нуль функции, заданной формулой y = kx + b, где k ? 0.
Чтобы найти нуль функции $y = kx + b$, необходимо найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Для этого приравняем правую часть формулы к нулю и решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$kx + b = 0$
Перенесём слагаемое $b$ в правую часть уравнения, изменив его знак:
$kx = -b$
Так как по условию коэффициент $k \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $k$:
$x = -\frac{b}{k}$
Это и есть единственный нуль данной линейной функции при $k \neq 0$.
Ответ: $x = -\frac{b}{k}$

Может ли линейная функция не иметь нулей?
Да, линейная функция может не иметь нулей. Рассмотрим общий вид линейной функции $y = kx + b$.
1. Если коэффициент $k \neq 0$, то, как было показано в предыдущем пункте, функция всегда имеет один единственный нуль $x = -\frac{b}{k}$. Графиком такой функции является наклонная прямая, которая обязательно пересекает ось абсцисс.
2. Если коэффициент $k = 0$, то функция принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$. Это постоянная функция, график которой — горизонтальная прямая.
- Если при этом $b \neq 0$ (например, $y=3$ или $y=-2$), то значение функции всегда постоянно и не равно нулю. Следовательно, в этом случае функция не имеет нулей. Её график — горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и не совпадающая с ней.
- Если же $b = 0$ (при $k=0$), то функция имеет вид $y = 0$. В этом случае любое значение $x$ является нулём функции, так как её значение всегда равно нулю. График такой функции совпадает с осью Ox.
Таким образом, линейная функция не имеет нулей только в одном случае: когда она является постоянной и не равной нулю.
Ответ: Да, может. Это происходит, когда в уравнении функции $y = kx + b$ коэффициент $k = 0$, а свободный член $b \neq 0$.

3. Как изменяется на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞) и функция у = kx? Рассмотрите случаи k > 0 и k ‹ 0.

4. Функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ при $k>0k\; >\; 0$ принимает отрицательные значения на промежутке $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$ и положительные значения на промежутке $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$.

Функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ при принимает отрицательные значения на промежутке $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$ и положительные значения на промежутке $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$.

5. При $k>0k\; >\; 0$ функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ является убывающей на каждом из промежутков $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;\; 0)$ и $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$. При функция $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$ является возрастающей на каждом из этих промежутков

Для того чтобы определить, как изменяется функция $y = \frac{k}{x}$ на заданных промежутках, мы исследуем её на монотонность. Монотонность функции (возрастание или убывание) можно определить по знаку её производной.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (\frac{k}{x})' = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Следовательно, знак производной $y'$ полностью определяется знаком выражения $-k$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака коэффициента $k$.

Случай $k > 0$

Если коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то выражение $-k$ будет отрицательным ($-k < 0$).

Следовательно, производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ будет отрицательной на всей области определения, так как мы делим отрицательное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y' < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $x \in (0; +\infty)$.

Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Таким образом, функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: При $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

Случай $k < 0$

Если коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), то выражение $-k$ будет положительным ($-k > 0$).

Следовательно, производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ будет положительной на всей области определения, так как мы делим положительное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y' > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $x \in (0; +\infty)$.

Если производная функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Таким образом, функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: При $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

4. Перечислите свойства функции, заданной формулой y = √x. Может ли эта функция принимать значение, равное 9, -4, 8? Если может, то при каком значении аргумента?

1. Функция определена при любых неотрицательных значениях аргумента, т.е. $D\left(y\right)=[0;+\infty ).$

2. Функция принимает только неотрицательные значения, причём любое неотрицательное число может являться её значением, т.е. $Е\left(y\right)=[0;+\infty ).$

3. Функция обращается в нуль при х=0.

4. Функция является возрастающей.

y=9 при х=81, у=-4 функция принимать не может, у=8 при х=64

Перечислите свойства функции, заданной формулой $y = \sqrt{x}$

• Область определения: Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

• Область значений: По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

• Нули функции: Функция обращается в ноль ($y=0$) при $\sqrt{x}=0$, что выполняется при $x=0$. График функции проходит через начало координат $(0;0)$.

• Промежутки знакопостоянства: Функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x > 0$. Функция не принимает отрицательных значений.

• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения, то есть на промежутке $[0; +\infty)$.

• Четность: Область определения функции несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

• Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min}=0$. Наибольшего значения у функции нет.

Ответ: свойства функции перечислены в списке выше.

Может ли эта функция принимать значение, равное 9, -4, 8? Если может, то при каком значении аргумента?

Проанализируем каждое из предложенных значений, подставив их в уравнение функции $y=\sqrt{x}$.

Для значения 9:
Решим уравнение $\sqrt{x} = 9$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 9^2 = 81$.
Так как $x=81$ входит в область определения функции, она может принимать значение 9.

Для значения -4:
Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -4$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это промежуток $[0; +\infty)$, а число -4 в него не входит. Следовательно, функция не может принимать значение -4.

Для значения 8:
Решим уравнение $\sqrt{x} = 8$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 8^2 = 64$.
Так как $x=64$ входит в область определения функции, она может принимать значение 8.

Ответ: функция может принимать значение 9 при $x=81$ и значение 8 при $x=64$. Значение -4 функция принимать не может.