Номер 1136, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1136, страница 255.

1136. Сравните значения выражений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}5\sqrt{2}+3\sqrt{5}<3\sqrt{7}+\sqrt{45} \\ \sqrt{50}+\sqrt{45}<\sqrt{63}+\sqrt{45} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}6\sqrt{2}-2\sqrt{7}>4\sqrt{3}-\sqrt{28} \\ \sqrt{72}-\sqrt{28}>\sqrt{48}-\sqrt{28} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5\sqrt{3}+3\sqrt{5}<\sqrt{75}+7\sqrt{2} \\ \sqrt{75}+\sqrt{45}<\sqrt{75}+\sqrt{98} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{112}-2\sqrt{5}>4\sqrt{7}-\sqrt{23} \\ \sqrt{112}-\sqrt{20}>\sqrt{112}-\sqrt{23} \end{gathered}$$

а) Сравним значения выражений $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.
Для начала упростим второе выражение. Вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{45}$:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Таким образом, второе выражение можно записать как $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.
Теперь задача сводится к сравнению выражений $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.
Поскольку слагаемое $3\sqrt{5}$ присутствует в обеих частях, мы можем его убрать и сравнить оставшиеся части: $5\sqrt{2}$ и $3\sqrt{7}$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:
$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
Поскольку $50 < 63$, то и $5\sqrt{2} < 3\sqrt{7}$.
Следовательно, $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

б) Сравним значения выражений $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.
Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{28}$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Теперь второе выражение равно $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.
Сравниваем $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.
Прибавим к обеим частям общее слагаемое $2\sqrt{7}$. Сравнение сводится к сравнению $6\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
Так как $72 > 48$, то $6\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.
Следовательно, $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.
Ответ: $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

в) Сравним значения выражений $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $\sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.
Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{75}$:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Второе выражение принимает вид $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.
Теперь сравнение выглядит так: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.
Вычтем из обеих частей общее слагаемое $5\sqrt{3}$. Сравнение сводится к сравнению $3\sqrt{5}$ и $7\sqrt{2}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.
Так как $45 < 98$, то $3\sqrt{5} < 7\sqrt{2}$.
Следовательно, $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.
Ответ: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

г) Сравним значения выражений $\sqrt{112} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.
Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{112}$:
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.
Первое выражение принимает вид $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.
Теперь нам нужно сравнить $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.
Вычтем из обеих частей общее слагаемое $4\sqrt{7}$. Сравнение сводится к сравнению $-2\sqrt{5}$ и $-\sqrt{23}$.
Для сравнения этих отрицательных чисел, сначала сравним их модули: $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{23}$.
Возведем их в квадрат:
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
$(\sqrt{23})^2 = 23$.
Так как $20 < 23$, то $2\sqrt{5} < \sqrt{23}$.
При умножении на -1 (или при сравнении отрицательных чисел) знак неравенства меняется на противоположный: $-2\sqrt{5} > -\sqrt{23}$.
Следовательно, $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.
Ответ: $\sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.