Номер 1130, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1130, страница 254.

1130. Дана функция f(x) = x. Укажите значения аргумента х, при которых выполняется условие:

а) f(x) > 10;

б) 3 ‹ f(x) ‹ 5.

Проиллюстрируйте свой ответ на графике.

f(x)=$\sqrt{x}$

a) f(x)>10

$\sqrt{x}$>10

x>100

 

б) 3<f(x)<5

3<$\sqrt{x}$<5

9<x<25

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Это свойство позволяет решать неравенства путем возведения в квадрат.

а) $f(x) > 10$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых выполняется это условие, подставим в неравенство выражение для функции: $$ \sqrt{x} > 10 $$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны ($x \ge 0$ по определению корня, и 10 > 0), мы можем возвести обе части в квадрат. Знак неравенства при этом не изменится: $$ (\sqrt{x})^2 > 10^2 $$ $$ x > 100 $$

Следовательно, неравенство выполняется при всех значениях $x$, строго больших 100.

Ответ: $x > 100$, или в виде интервала $x \in (100; +\infty)$.

б) $3 < f(x) < 5$

Аналогично подставим выражение для функции в двойное неравенство: $$ 3 < \sqrt{x} < 5 $$

Все три части этого двойного неравенства положительны. Поэтому мы можем возвести все три части в квадрат, сохраняя знаки неравенств: $$ 3^2 < (\sqrt{x})^2 < 5^2 $$ $$ 9 < x < 25 $$

Следовательно, неравенство выполняется при всех значениях $x$, которые строго больше 9 и строго меньше 25.

Ответ: $9 < x < 25$, или в виде интервала $x \in (9; 25)$.

Проиллюстрируйте свой ответ на графике.

На графике функции $y = \sqrt{x}$ показаны участки, соответствующие найденным решениям.

• Для условия а) ($f(x) > 10$) соответствующий участок графика и интервал на оси $x$ выделены красным цветом. Это все точки на графике, лежащие выше прямой $y=10$, что соответствует $x > 100$.
• Для условия б) ($3 < f(x) < 5$) соответствующий участок графика и интервал на оси $x$ выделены зеленым цветом. Это все точки на графике, лежащие между прямыми $y=3$ и $y=5$, что соответствует $9 < x < 25$.