Номер 1131, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1131, страница 254.

1131. Постройте график функции и перечислите её свойства:

a) $y=\frac{3}{x}y=\backslash frac\{3\}\{x\}$

1. D(y)=($-\mathrm{\infty }-\backslash infty$;0) ∪ (0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

2. E(y)=($-\mathrm{\infty }-\backslash infty$;0) ∪ (0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

3. Нулей нет

4. y>0 при x$\in \backslash in$(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

y<0 при x$\in \backslash in$($-\mathrm{\infty }-\backslash infty$;0)

5. Т.к. k=3>0, то функция убывающая

 

б) $y=-\frac{4}{x}y=-\backslash frac\{4\}\{x\}$

1. D(y)=(-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;0)∪(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

2. E(y)=(-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;0)∪(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

3. Нулей нет

4. y>0 при x$\in \backslash in$(-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;0)

y<0 при x$\in \backslash in$(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

5. Т.к. k=-4<0, то функция возрастающая

а) $y = \frac{3}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=3$. Графиком такой функции является гипербола.

Построение графика:

Поскольку коэффициент $k = 3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему, и составим таблицу значений:

$x$	-6	-3	-1	-0.5	0.5	1	3	6
$y$	-0.5	-1	-3	-6	6	3	1	0.5

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим две ветви гиперболы. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика, то есть кривые бесконечно приближаются к осям, но никогда их не пересекают.

Свойства функции:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x=0$. Запись в виде промежутков: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Все действительные числа, кроме $y=0$. Запись в виде промежутков: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).
• Нули функции: У функции нет нулей, так как уравнение $\frac{3}{x} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
• Пересечение с осью Oy: График не пересекает ось Oy, так как значение $x=0$ не входит в область определения функции.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Функция не имеет точек максимума и минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
  • Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Ответ: Графиком функции $y = \frac{3}{x}$ является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства функции перечислены выше.

---

б) $y = -\frac{4}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-4$. Графиком также является гипербола.

Построение графика:

Поскольку коэффициент $k = -4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
$y$	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

Отметив эти точки и соединив их плавными линиями, получим ветви гиперболы во II и IV четвертях. Оси координат также являются асимптотами.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -(-\frac{4}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Нулей нет, график не пересекает ось Ox.
• Пересечение с осью Oy: Нет точек пересечения с осью Oy.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$.
  • $y < 0$ при $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Точек максимума и минимума нет.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
  • Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Ответ: Графиком функции $y = -\frac{4}{x}$ является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства функции перечислены выше.