Страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1127. Какие из прямых пересекают график функции y = x? Для прямых, пересекающих график, укажите абсциссы точек пересечения.

y = 25, y = 0,09, y = 10, y = –4

y=25

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=25\backslash sqrt\{x\}=25 \\ x=25^{2}x=25^2 \end{gathered}$$

x=625

Ответ: 625

y=0,09

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=0,09\backslash sqrt\{x\}=0,09 \\ x=0,09^{2}x=0,09^2 \end{gathered}$$

x=0,0081

Ответ: 0,0081

y=10

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=10\backslash sqrt\{x\}=10 \\ x=10^{2}x=10^2 \end{gathered}$$

x=100

Ответ: 100

y=-4

$\sqrt{x}=-4\backslash sqrt\{x\}=-4$

Ответ: прямая не пересекает график функции $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$

Для того чтобы прямая вида $y = c$ пересекала график функции $y = \sqrt{x}$, необходимо и достаточно, чтобы значение $c$ принадлежало области значений функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$.

Область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это также все неотрицательные числа, то есть $y \ge 0$.

Таким образом, прямая $y = c$ будет пересекать график функции $y = \sqrt{x}$ только при условии, что $c \ge 0$.

Рассмотрим каждую из предложенных прямых.

y = 25

Поскольку $25 > 0$, эта прямая пересекает график функции. Чтобы найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения, нужно решить уравнение:

$\sqrt{x} = 25$

Для решения возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 25^2$

$x = 625$

Ответ: прямая пересекает график, абсцисса точки пересечения равна 625.

y = 0,09

Поскольку $0,09 > 0$, эта прямая пересекает график функции. Найдем абсциссу точки пересечения, решив уравнение:

$\sqrt{x} = 0,09$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,09)^2$

$x = 0,0081$

Ответ: прямая пересекает график, абсцисса точки пересечения равна 0,0081.

y = 10

Поскольку $10 > 0$, эта прямая пересекает график функции. Найдем абсциссу точки пересечения:

$\sqrt{x} = 10$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 10^2$

$x = 100$

Ответ: прямая пересекает график, абсцисса точки пересечения равна 100.

y = -4

Поскольку $-4 < 0$, а область значений функции $y = \sqrt{x}$ есть $y \ge 0$, эта прямая не имеет общих точек с графиком функции. Уравнение $\sqrt{x} = -4$ не имеет решений, так как по определению арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом.

Ответ: прямая не пересекает график.

1128. Используя график функции y = x, постройте в той же системе координат график функции:

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0, 0)$.

Найдем несколько ключевых точек для графика $y = \sqrt{x}$:

• Если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$. Точка $(4, 2)$.
• Если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$. Точка $(9, 3)$.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики заданных функций.

а) $y = 2\sqrt{x}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ удваивается.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и найдем новые координаты для $y = 2\sqrt{x}$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте, так как $2 \cdot 0 = 0$.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 2 \cdot 1) = (1, 2)$.
• Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4, 2 \cdot 2) = (4, 4)$.
• Точка $(9, 3)$ переходит в точку $(9, 2 \cdot 3) = (9, 6)$.

Соединив эти новые точки плавной линией, получим график функции $y = 2\sqrt{x}$. Он также начинается в точке $(0, 0)$ и расположен в первой четверти, но поднимается "круче", чем график $y = \sqrt{x}$.

Область определения: $x \ge 0$.

Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ растяжением от оси $Ox$ в 2 раза (то есть, все ординаты точек графика умножаются на 2).

б) $y = -\sqrt{x}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ меняет свой знак на противоположный.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и найдем новые координаты для $y = -\sqrt{x}$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте, так как $-0 = 0$.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -1)$.
• Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4, -2)$.
• Точка $(9, 3)$ переходит в точку $(9, -3)$.

Соединив эти точки, получим график функции $y = -\sqrt{x}$, который является зеркальным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Ox$ и расположен в четвертой координатной четверти.

Область определения: $x \ge 0$.

Область значений: $y \le 0$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

в) $y = \sqrt{-x}$

Сначала определим область определения этой функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси ординат ($Oy$). Это означает, что значения функции для отрицательных $x$ будут такими же, как для соответствующих положительных $x$ у функции $y = \sqrt{x}$.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и найдем новые координаты для $y = \sqrt{-x}$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте.
• Чтобы получить $y=1$, нужно чтобы под корнем было 1. Значит $-x = 1 \implies x = -1$. Точка $(-1, 1)$.
• Чтобы получить $y=2$, нужно чтобы под корнем было 4. Значит $-x = 4 \implies x = -4$. Точка $(-4, 2)$.
• Чтобы получить $y=3$, нужно чтобы под корнем было 9. Значит $-x = 9 \implies x = -9$. Точка $(-9, 3)$.

Соединив эти точки, получим график функции $y = \sqrt{-x}$, который является зеркальным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Oy$ и расположен во второй координатной четверти.

Область определения: $x \le 0$.

Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси $Oy$.

1129. Постройте в одной системе координат графики функций у = x и у = x.

а) Укажите координаты их общих точек.

б) При каких значениях x график функции у = x расположен выше прямой у = x и при каких значениях х он расположен ниже этой прямой?

a) (0;0) и (1;1)

б) при 0<x<1 график функции $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$ расположен выше прямой y=x; при x>1 график функции $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$ расположен ниже прямой y=x

Сначала построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ в одной системе координат.

График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в I координатном угле. Область определения функции: $x \ge 0$. Составим таблицу значений для построения:

• при $x=0$, $y=0$ > точка $(0, 0)$;
• при $x=1$, $y=1$ > точка $(1, 1)$;
• при $x=4$, $y=2$ > точка $(4, 2)$;
• при $x=9$, $y=3$ > точка $(9, 3)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = \sqrt{x}$. На координатной плоскости видно, что графики пересекаются, причем на одном участке график $y = \sqrt{x}$ находится выше прямой $y=x$, а на другом — ниже.

а) Укажите координаты их общих точек.

Для нахождения координат общих точек графиков необходимо решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x} = x $$ Данное уравнение определено при $x \ge 0$. Для его решения возведем обе части в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = x^2 $$ $$ x = x^2 $$ Перенесем все в левую часть и решим уравнение: $$ x^2 - x = 0 $$ $$ x(x - 1) = 0 $$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений (например, $y=x$):

• При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$. Координаты первой общей точки $(0, 0)$.
• При $x_2 = 1$, $y_2 = 1$. Координаты второй общей точки $(1, 1)$.

Ответ: общие точки имеют координаты $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) При каких значениях x график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = x$ и при каких значениях x он расположен ниже этой прямой?

1. Чтобы определить, когда график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y=x$, нужно решить неравенство: $$ \sqrt{x} > x $$ Из анализа графика и точек пересечения $(0,0)$ и $(1,1)$ видно, что это неравенство выполняется на интервале между точками пересечения. Проверим это, взяв любое число из интервала $(0, 1)$, например, $x=0.25$: $$ \sqrt{0.25} > 0.25 $$ $$ 0.5 > 0.25 $$ Неравенство верно. Следовательно, график $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = x$ при $x \in (0, 1)$.

2. Чтобы определить, когда график функции $y = \sqrt{x}$ расположен ниже прямой $y=x$, нужно решить неравенство: $$ \sqrt{x} < x $$ Это неравенство будет выполняться для значений $x$, которые больше абсциссы второй точки пересечения. Проверим это, взяв любое число из интервала $(1, +\infty)$, например, $x=4$: $$ \sqrt{4} < 4 $$ $$ 2 < 4 $$ Неравенство верно. Следовательно, график $y = \sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y = x$ при $x > 1$.

Ответ: график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = x$ при $x \in (0, 1)$, и расположен ниже этой прямой при $x \in (1, +\infty)$.

1130. Дана функция f(x) = x. Укажите значения аргумента х, при которых выполняется условие:

а) f(x) > 10;

б) 3 ‹ f(x) ‹ 5.

Проиллюстрируйте свой ответ на графике.

f(x)=$\sqrt{x}$

a) f(x)>10

$\sqrt{x}$>10

x>100

б) 3<f(x)<5

3<$\sqrt{x}$<5

9<x<25

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Это свойство позволяет решать неравенства путем возведения в квадрат.

а) $f(x) > 10$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых выполняется это условие, подставим в неравенство выражение для функции: $$ \sqrt{x} > 10 $$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны ($x \ge 0$ по определению корня, и 10 > 0), мы можем возвести обе части в квадрат. Знак неравенства при этом не изменится: $$ (\sqrt{x})^2 > 10^2 $$ $$ x > 100 $$

Следовательно, неравенство выполняется при всех значениях $x$, строго больших 100.

Ответ: $x > 100$, или в виде интервала $x \in (100; +\infty)$.

б) $3 < f(x) < 5$

Аналогично подставим выражение для функции в двойное неравенство: $$ 3 < \sqrt{x} < 5 $$

Все три части этого двойного неравенства положительны. Поэтому мы можем возвести все три части в квадрат, сохраняя знаки неравенств: $$ 3^2 < (\sqrt{x})^2 < 5^2 $$ $$ 9 < x < 25 $$

Следовательно, неравенство выполняется при всех значениях $x$, которые строго больше 9 и строго меньше 25.

Ответ: $9 < x < 25$, или в виде интервала $x \in (9; 25)$.

Проиллюстрируйте свой ответ на графике.

На графике функции $y = \sqrt{x}$ показаны участки, соответствующие найденным решениям.

• Для условия а) ($f(x) > 10$) соответствующий участок графика и интервал на оси $x$ выделены красным цветом. Это все точки на графике, лежащие выше прямой $y=10$, что соответствует $x > 100$.
• Для условия б) ($3 < f(x) < 5$) соответствующий участок графика и интервал на оси $x$ выделены зеленым цветом. Это все точки на графике, лежащие между прямыми $y=3$ и $y=5$, что соответствует $9 < x < 25$.

1131. Постройте график функции и перечислите её свойства:

a) $y=\frac{3}{x}y=\backslash frac\{3\}\{x\}$

1. D(y)=($-\mathrm{\infty }-\backslash infty$;0) ∪ (0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

2. E(y)=($-\mathrm{\infty }-\backslash infty$;0) ∪ (0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

3. Нулей нет

4. y>0 при x$\in \backslash in$(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

y<0 при x$\in \backslash in$($-\mathrm{\infty }-\backslash infty$;0)

5. Т.к. k=3>0, то функция убывающая

б) $y=-\frac{4}{x}y=-\backslash frac\{4\}\{x\}$

1. D(y)=(-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;0)∪(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

2. E(y)=(-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;0)∪(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

3. Нулей нет

4. y>0 при x$\in \backslash in$(-$\mathrm{\infty }\backslash infty$;0)

y<0 при x$\in \backslash in$(0;+$\mathrm{\infty }\backslash infty$)

5. Т.к. k=-4<0, то функция возрастающая

а) $y = \frac{3}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=3$. Графиком такой функции является гипербола.

Построение графика:

Поскольку коэффициент $k = 3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему, и составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим две ветви гиперболы. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика, то есть кривые бесконечно приближаются к осям, но никогда их не пересекают.

Свойства функции:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x=0$. Запись в виде промежутков: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Все действительные числа, кроме $y=0$. Запись в виде промежутков: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).
• Нули функции: У функции нет нулей, так как уравнение $\frac{3}{x} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
• Пересечение с осью Oy: График не пересекает ось Oy, так как значение $x=0$ не входит в область определения функции.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Функция не имеет точек максимума и минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
  • Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Ответ: Графиком функции $y = \frac{3}{x}$ является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства функции перечислены выше.

б) $y = -\frac{4}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-4$. Графиком также является гипербола.

Построение графика:

Поскольку коэффициент $k = -4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

Отметив эти точки и соединив их плавными линиями, получим ветви гиперболы во II и IV четвертях. Оси координат также являются асимптотами.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -(-\frac{4}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Нулей нет, график не пересекает ось Ox.
• Пересечение с осью Oy: Нет точек пересечения с осью Oy.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$.
  • $y < 0$ при $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Точек максимума и минимума нет.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
  • Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Ответ: Графиком функции $y = -\frac{4}{x}$ является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства функции перечислены выше.

1132. Изобразите схематически в одной системе координат графики функции у = 1x и у = 2x. Имеют ли эти графики общие точки? Обоснуйте свой ответ алгебраически.

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{x} y=\frac{2}{x} \\ \frac{1}{x}=\frac{2}{x} \\ \frac{1}{x}-\frac{2}{x}=0 \\ -\frac{1}{x}=0 \end{gathered}$$

Ответ: общих точек нет

Изобразите схематически в одной системе координат графики функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{2}{x}$

Обе функции имеют вид $y = \frac{k}{x}$ и являются обратной пропорциональностью. Их графики — гиперболы.

1. Для функции $y = \frac{1}{x}$ коэффициент $k=1$, то есть $k>0$. Это означает, что ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. Для функции $y = \frac{2}{x}$ коэффициент $k=2$, то есть $k>0$. Ветви этой гиперболы также расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат также являются асимптотами.

Для схематического построения графиков найдем координаты нескольких точек для каждой функции:
Для $y = \frac{1}{x}$:
если $x = 1$, то $y = 1$;
если $x = 2$, то $y = 0.5$;
если $x = 0.5$, то $y = 2$;
если $x = -1$, то $y = -1$;
если $x = -2$, то $y = -0.5$.

Для $y = \frac{2}{x}$:
если $x = 1$, то $y = 2$;
если $x = 2$, то $y = 1$;
если $x = 0.5$, то $y = 4$;
если $x = -1$, то $y = -2$;
если $x = -2$, то $y = -1$.

Сравнивая значения функций, можно заметить, что для любого $x$ из области определения, значение функции $y = \frac{2}{x}$ в два раза больше значения функции $y = \frac{1}{x}$. Следовательно, график функции $y = \frac{2}{x}$ расположен дальше от оси абсцисс, чем график $y = \frac{1}{x}$.

Ответ: Графики обеих функций представляют собой гиперболы, ветви которых находятся в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для обоих графиков. При одинаковых значениях абсциссы ($x$) ордината ($y$) графика функции $y = \frac{2}{x}$ в два раза больше, чем у графика $y = \frac{1}{x}$, поэтому его ветви расположены дальше от осей координат.

Имеют ли эти графики общие точки? Обоснуйте свой ответ алгебраически.

Чтобы определить, имеют ли графики общие точки, нужно выяснить, существуют ли такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Для этого решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ y = \frac{2}{x} \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$ \frac{1}{x} = \frac{2}{x} $

Область допустимых значений для этого уравнения — все действительные числа, кроме $x = 0$. Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):

$ x \cdot \frac{1}{x} = x \cdot \frac{2}{x} $

$ 1 = 2 $

Полученное равенство $1=2$ является ложным при любых значениях $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, система уравнений также не имеет решений.

Ответ: Нет, графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{2}{x}$ не имеют общих точек, поскольку система уравнений, составленная из них, не имеет решений.

1133. Функция задана формулой у = 4x. При каких значениях х:

а) функция принимает значение, равное: 8; –8;

б) функция принимает значение, меньшее 4;

в) функция принимает значение, большее 2?

$y=\frac{4}{x}y=\backslash frac\{4\}\{x\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{;} \frac{4}{x}=8; x=\frac{1}{2} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{;} \frac{4}{x}=-8; x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\mathit{y}\mathbf{<}\mathbf{4}\mathbf{;} \frac{4}{x}<4 /·x>0 \\ 4<4x \\ x>1 \\ \left\{\begin{array}{c}x>0\\ x>1\end{array}\right.x>1 \\ \frac{4}{x}<4 /·x<0 \\ 4>4x \\ x<1 \\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ x<1\end{array}\right.x<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{x}}\mathbf{>}\mathbf{2}\mathbf{;} 4>2x\text{ при }x>0 \\ x<2 \\ \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{x}}\mathbf{>}\mathbf{2}\mathbf{;} 4<2x\text{ при }x<0 \\ x>2 \\ \left\{\begin{array}{c}x>0\\ x<2\end{array}\right.0<x<2 \\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ x>2\end{array}\right.-\mathrm{\varnothing } \end{gathered}$$

Ответ: a) при $x=\frac{1}{2}; x=-\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\};\; x=-\backslash frac\{1\}\{2\}$

б)

в)

а) Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = \frac{4}{x}$ принимает значения, равные 8 и -8, необходимо решить два уравнения.

1. Приравняем функцию к 8:
$y = 8 \implies \frac{4}{x} = 8$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$) и разделим на 8:
$4 = 8x$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

2. Приравняем функцию к -8:
$y = -8 \implies \frac{4}{x} = -8$
Аналогично находим $x$:
$4 = -8x$
$x = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значение меньше 4, нужно решить неравенство $y < 4$.

$\frac{4}{x} < 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{x} - 4 < 0$
$\frac{4 - 4x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
Нуль числителя: $4 - 4x = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:
- Если $x > 1$ (например, $x=2$), то $\frac{4 - 4(2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$. Интервал подходит.
- Если $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), то $\frac{4 - 4(0.5)}{0.5} = \frac{2}{0.5} = 4 > 0$. Интервал не подходит.
- Если $x < 0$ (например, $x=-1$), то $\frac{4 - 4(-1)}{-1} = \frac{8}{-1} = -8 < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значение больше 2, нужно решить неравенство $y > 2$.

$\frac{4}{x} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{x} - 2 > 0$
$\frac{4 - 2x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:
- Если $x > 2$ (например, $x=3$), то $\frac{4 - 2(3)}{3} = \frac{-2}{3} < 0$. Интервал не подходит.
- Если $0 < x < 2$ (например, $x=1$), то $\frac{4 - 2(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2 > 0$. Интервал подходит.
- Если $x < 0$ (например, $x=-2$), то $\frac{4 - 2(-2)}{-2} = \frac{8}{-2} = -4 < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется при $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

1134. Является ли возрастающей или убывающей функция:

a) $y=5x+\sqrt{x}$

$y_1=5x$ - функция возрастающая,

$y_2=\sqrt{x}y\_2=\backslash sqrt\{x\}$ - функция возрастающая,

$y=y_1+y_{2}y=y\_1+y\_2$ - функция возрастающая

б) $y=-x+\sqrt{-x}$

$y_1=-x$ - функция убывающая

$y_2=\sqrt{-x}y\_2=\backslash sqrt\{-x\}$ - функция убывающая

$y=y_1+y_{2}y=y\_1+y\_2$ - функция убывалощия

в) $y=x^2+\sqrt{x}$

$y_1=x^2$ - возрастающая при x≥0

$y_2=\sqrt{x}y\_2=\backslash sqrt\{x\}$ - возрастающая

$y=y_1+y_{2}y=y\_1+y\_2$ - возрастающая

а) Для функции $y = 5x + \sqrt{x}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, исследуем знак ее производной.
$y' = (5x + \sqrt{x})' = (5x)' + (x^{1/2})' = 5 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 5 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0; +\infty)$ оба слагаемых в выражении для производной положительны: $5 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y'$ также будет положительна для всех $x$ из этого интервала.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$, где она не определена, но функция непрерывна), функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

б) Для функции $y = -x + \sqrt{-x}$ область определения задается условием $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0]$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sqrt{-x}$:
$y' = (-x + \sqrt{-x})' = (-x)' + (\sqrt{-x})' = -1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-x)' = -1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -1 - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
На интервале $(-\infty; 0)$ выражение $\sqrt{-x}$ положительно, значит, дробь $\frac{1}{2\sqrt{-x}}$ также положительна. Производная $y'$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел ($-1$ и $-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$), поэтому $y' < 0$ для всех $x$ из этого интервала.
Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

в) Для функции $y = x^2 + \sqrt{x}$ область определения задается условием $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$y' = (x^2 + \sqrt{x})' = (x^2)' + (x^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0; +\infty)$ оба слагаемых в выражении для производной положительны: $2x > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y'$ также будет положительна для всех $x$ из этого интервала.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

1135. Решите систему неравенств

x + 110 - x6 ≤ x10 - 1 - x30,

x3 - x + 512 ‹ x4 - x - 524.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{cc}\frac{x+1}{10}-\frac{x}{6}\le \frac{x}{10}+\frac{1-x}{30}& \mathrm{/}·30\\ \frac{x}{3}-\frac{x+5}{12}<\frac{x}{4}-\frac{x-5}{24}& \mathrm{/}·24\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3\left(x+1\right)-5x\le 3x+1-x\\ 8x-2\left(x+5\right)<6x-\left(x-5\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3x+3-5x\le 2x+1\\ 8x-2x-10<6x-x+5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}-2x-2x\le 1-3\\ 6x-5x<5+10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4x\le -2\\ x<15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x<15\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: ; $[\frac{1}{2}; 15)$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \le \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (10, 6, 30), которое равно 30. Так как 30 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$ 30 \cdot \frac{x+1}{10} - 30 \cdot \frac{x}{6} \le 30 \cdot \frac{x}{10} + 30 \cdot \frac{1-x}{30} $

$ 3(x+1) - 5x \le 3x + (1-x) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3x + 3 - 5x \le 3x + 1 - x $

$ -2x + 3 \le 2x + 1 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$ 3 - 1 \le 2x + 2x $

$ 2 \le 4x $

Разделим обе части на 4:

$ \frac{2}{4} \le x $

$ 0.5 \le x $ или $ x \ge 0.5 $

Решение первого неравенства: $ x \in [0.5; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство:

$ \frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} < \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 12, 4, 24), которое равно 24.

$ 24 \cdot \frac{x}{3} - 24 \cdot \frac{x+5}{12} < 24 \cdot \frac{x}{4} - 24 \cdot \frac{x-5}{24} $

$ 8x - 2(x+5) < 6x - (x-5) $

Раскроем скобки. Обратим внимание на знаки.

$ 8x - 2x - 10 < 6x - x + 5 $

$ 6x - 10 < 5x + 5 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 6x - 5x < 5 + 10 $

$ x < 15 $

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty; 15) $.

3. Найдем решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x < 15 \end{cases} $

Объединяя эти два условия, получаем интервал, в котором $x$ одновременно больше или равен 0.5 и строго меньше 15.

$ 0.5 \le x < 15 $

Ответ: $ x \in [0.5; 15) $.