Номер 1135, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1135, страница 254.

1135. Решите систему неравенств

x + 110 - x6 ≤ x10 - 1 - x30,

x3 - x + 512 ‹ x4 - x - 524.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{cc}\frac{x+1}{10}-\frac{x}{6}\le \frac{x}{10}+\frac{1-x}{30}& \mathrm{/}·30\\ \frac{x}{3}-\frac{x+5}{12}<\frac{x}{4}-\frac{x-5}{24}& \mathrm{/}·24\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3\left(x+1\right)-5x\le 3x+1-x\\ 8x-2\left(x+5\right)<6x-\left(x-5\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3x+3-5x\le 2x+1\\ 8x-2x-10<6x-x+5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}-2x-2x\le 1-3\\ 6x-5x<5+10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4x\le -2\\ x<15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x<15\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: ; $[\frac{1}{2}; 15)$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \le \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (10, 6, 30), которое равно 30. Так как 30 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$ 30 \cdot \frac{x+1}{10} - 30 \cdot \frac{x}{6} \le 30 \cdot \frac{x}{10} + 30 \cdot \frac{1-x}{30} $

$ 3(x+1) - 5x \le 3x + (1-x) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3x + 3 - 5x \le 3x + 1 - x $

$ -2x + 3 \le 2x + 1 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$ 3 - 1 \le 2x + 2x $

$ 2 \le 4x $

Разделим обе части на 4:

$ \frac{2}{4} \le x $

$ 0.5 \le x $ или $ x \ge 0.5 $

Решение первого неравенства: $ x \in [0.5; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство:

$ \frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} < \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 12, 4, 24), которое равно 24.

$ 24 \cdot \frac{x}{3} - 24 \cdot \frac{x+5}{12} < 24 \cdot \frac{x}{4} - 24 \cdot \frac{x-5}{24} $

$ 8x - 2(x+5) < 6x - (x-5) $

Раскроем скобки. Обратим внимание на знаки.

$ 8x - 2x - 10 < 6x - x + 5 $

$ 6x - 10 < 5x + 5 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 6x - 5x < 5 + 10 $

$ x < 15 $

Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty; 15) $.

3. Найдем решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x < 15 \end{cases} $

Объединяя эти два условия, получаем интервал, в котором $x$ одновременно больше или равен 0.5 и строго меньше 15.

$ 0.5 \le x < 15 $

Ответ: $ x \in [0.5; 15) $.