Номер 1, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1, страница 255.

1. Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.

1. Пример возрастающей линейной функции: у=5x+6; пример убывающей линейной функции: у=-5х+6.

5. При k>0 функция у=kx+b является возрастающей, а при k<0 - убывающей.

• Докажем это. Пусть x₁ и x₂ - произвольные значения аргумента, причём x₂>x₁. Обозначим через у₁ и у₂ соответствующие им значения функции:

y₁=kx₁+b и y₂=kx₂+b.

Рассмотрим разность у₂ - y₁:

$$\begin{gathered} y_2-y_1=(k{x}_2+b)-(k{x}_1+b)= \\ =k{x}_2-k{x}_1=k(x_2-x{1}_1). \end{gathered}$$

Множитель х₂ – х₁ положителен, так как х₂>x₁. Поэтому знак произведения $k({х}_2–{х}_1)$ определяется знаком коэффициента k.

Если k>0, тο $k(x_2-x_1)>0 \text{и} y_2>{у}_1.$ Значит, при k>0 функция у=kx+b является возрастающей.

Если k<0, тο $k(x_2-x_1)<0 \text{и} y_2<{у}_1.$ Значит, при k<0 функция у=kx+b является убывающей.

Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Число $k$ называется угловым коэффициентом.

Примеры возрастающей и убывающей линейной функции

Функция является возрастающей, если большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($y$).

• Пример возрастающей линейной функции: $y = 2x + 3$.
  Здесь угловой коэффициент $k=2$, что больше нуля. Если мы возьмем два значения аргумента, например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$ (где $x_2 > x_1$), то соответствующие значения функции будут $y_1 = 2(1) + 3 = 5$ и $y_2 = 2(4) + 3 = 11$. Так как $11 > 5$, мы видим, что большему значению $x$ соответствует большее значение $y$.

Функция является убывающей, если большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$).

• Пример убывающей линейной функции: $y = -0.5x + 1$.
  Здесь угловой коэффициент $k=-0.5$, что меньше нуля. Если мы возьмем те же значения аргумента, $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$, то значения функции будут $y_1 = -0.5(1) + 1 = 0.5$ и $y_2 = -0.5(4) + 1 = -2 + 1 = -1$. Так как $-1 < 0.5$, мы видим, что большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$.

Свойство монотонности линейной функции

Линейная функция $y = kx + b$ является:

• возрастающей на всей числовой оси, если ее угловой коэффициент $k > 0$;
• убывающей на всей числовой оси, если ее угловой коэффициент $k < 0$.

(Также стоит отметить, что если $k=0$, то функция $y=b$ является постоянной и не является ни возрастающей, ни убывающей).

Доказательство свойства

Для доказательства воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции. Пусть задана линейная функция $y(x) = kx + b$. Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции (вся числовая ось) так, что $x_2 > x_1$. Найдем соответствующие им значения функции: $y_1 = y(x_1) = kx_1 + b$ и $y_2 = y(x_2) = kx_2 + b$.

Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$.

По нашему выбору $x_2 > x_1$, следовательно, разность $x_2 - x_1$ всегда является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака коэффициента $k$.

1. Пусть $k > 0$.
   В этом случае произведение положительного числа $k$ на положительное число $(x_2 - x_1)$ также будет положительным:
   $k(x_2 - x_1) > 0$.
   Следовательно, $y_2 - y_1 > 0$, что равносильно $y_2 > y_1$.
   Таким образом, для любых $x_2 > x_1$ выполняется $y(x_2) > y(x_1)$, что по определению означает, что функция является возрастающей.

2. Пусть $k < 0$.
   В этом случае произведение отрицательного числа $k$ на положительное число $(x_2 - x_1)$ будет отрицательным:
   $k(x_2 - x_1) < 0$.
   Следовательно, $y_2 - y_1 < 0$, что равносильно $y_2 < y_1$.
   Таким образом, для любых $x_2 > x_1$ выполняется $y(x_2) < y(x_1)$, что по определению означает, что функция является убывающей.

Свойство доказано.

Ответ: Примером возрастающей линейной функции является $y = 2x+3$, а убывающей — $y = -0.5x+1$. Свойство линейной функции: функция $y = kx + b$ возрастает при $k > 0$ и убывает при $k < 0$. Это свойство доказывается через анализ знака разности $y(x_2) - y(x_1) = k(x_2 - x_1)$ для любых $x_2 > x_1$.