Номер 1134, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1134, страница 254.

1134. Является ли возрастающей или убывающей функция:

a) $y=5x+\sqrt{x}$

$y_1=5x$ - функция возрастающая,

$y_2=\sqrt{x}y\_2=\backslash sqrt\{x\}$ - функция возрастающая,

$y=y_1+y_{2}y=y\_1+y\_2$ - функция возрастающая

б) $y=-x+\sqrt{-x}$

$y_1=-x$ - функция убывающая

$y_2=\sqrt{-x}y\_2=\backslash sqrt\{-x\}$ - функция убывающая

$y=y_1+y_{2}y=y\_1+y\_2$ - функция убывалощия

в) $y=x^2+\sqrt{x}$

$y_1=x^2$ - возрастающая при x≥0

$y_2=\sqrt{x}y\_2=\backslash sqrt\{x\}$ - возрастающая

$y=y_1+y_{2}y=y\_1+y\_2$ - возрастающая

а) Для функции $y = 5x + \sqrt{x}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, исследуем знак ее производной.
$y' = (5x + \sqrt{x})' = (5x)' + (x^{1/2})' = 5 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 5 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0; +\infty)$ оба слагаемых в выражении для производной положительны: $5 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y'$ также будет положительна для всех $x$ из этого интервала.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$, где она не определена, но функция непрерывна), функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

б) Для функции $y = -x + \sqrt{-x}$ область определения задается условием $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 0]$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sqrt{-x}$:
$y' = (-x + \sqrt{-x})' = (-x)' + (\sqrt{-x})' = -1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-x)' = -1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -1 - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
На интервале $(-\infty; 0)$ выражение $\sqrt{-x}$ положительно, значит, дробь $\frac{1}{2\sqrt{-x}}$ также положительна. Производная $y'$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел ($-1$ и $-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$), поэтому $y' < 0$ для всех $x$ из этого интервала.
Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

в) Для функции $y = x^2 + \sqrt{x}$ область определения задается условием $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$y' = (x^2 + \sqrt{x})' = (x^2)' + (x^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0; +\infty)$ оба слагаемых в выражении для производной положительны: $2x > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y'$ также будет положительна для всех $x$ из этого интервала.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.