Номер 1133, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1133, страница 254.

1133. Функция задана формулой у = 4x. При каких значениях х:

а) функция принимает значение, равное: 8; –8;

б) функция принимает значение, меньшее 4;

в) функция принимает значение, большее 2?

$y=\frac{4}{x}y=\backslash frac\{4\}\{x\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{;} \frac{4}{x}=8; x=\frac{1}{2} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{;} \frac{4}{x}=-8; x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\mathit{y}\mathbf{<}\mathbf{4}\mathbf{;} \frac{4}{x}<4 /·x>0 \\ 4<4x \\ x>1 \\ \left\{\begin{array}{c}x>0\\ x>1\end{array}\right.x>1 \\ \frac{4}{x}<4 /·x<0 \\ 4>4x \\ x<1 \\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ x<1\end{array}\right.x<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{x}}\mathbf{>}\mathbf{2}\mathbf{;} 4>2x\text{ при }x>0 \\ x<2 \\ \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{x}}\mathbf{>}\mathbf{2}\mathbf{;} 4<2x\text{ при }x<0 \\ x>2 \\ \left\{\begin{array}{c}x>0\\ x<2\end{array}\right.0<x<2 \\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ x>2\end{array}\right.-\mathrm{\varnothing } \end{gathered}$$

Ответ: a) при $x=\frac{1}{2}; x=-\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\};\; x=-\backslash frac\{1\}\{2\}$

б)

в)

а) Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = \frac{4}{x}$ принимает значения, равные 8 и -8, необходимо решить два уравнения.

1. Приравняем функцию к 8:
$y = 8 \implies \frac{4}{x} = 8$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$) и разделим на 8:
$4 = 8x$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

2. Приравняем функцию к -8:
$y = -8 \implies \frac{4}{x} = -8$
Аналогично находим $x$:
$4 = -8x$
$x = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значение меньше 4, нужно решить неравенство $y < 4$.

$\frac{4}{x} < 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{x} - 4 < 0$
$\frac{4 - 4x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
Нуль числителя: $4 - 4x = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:
- Если $x > 1$ (например, $x=2$), то $\frac{4 - 4(2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$. Интервал подходит.
- Если $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), то $\frac{4 - 4(0.5)}{0.5} = \frac{2}{0.5} = 4 > 0$. Интервал не подходит.
- Если $x < 0$ (например, $x=-1$), то $\frac{4 - 4(-1)}{-1} = \frac{8}{-1} = -8 < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значение больше 2, нужно решить неравенство $y > 2$.

$\frac{4}{x} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{x} - 2 > 0$
$\frac{4 - 2x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:
- Если $x > 2$ (например, $x=3$), то $\frac{4 - 2(3)}{3} = \frac{-2}{3} < 0$. Интервал не подходит.
- Если $0 < x < 2$ (например, $x=1$), то $\frac{4 - 2(1)}{1} = \frac{2}{1} = 2 > 0$. Интервал подходит.
- Если $x < 0$ (например, $x=-2$), то $\frac{4 - 2(-2)}{-2} = \frac{8}{-2} = -4 < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, неравенство выполняется при $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.