Номер 1128, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Свойства функций у =k/x и y =√x. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1128, страница 254.

1128. Используя график функции y = x, постройте в той же системе координат график функции:

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0, 0)$.

Найдем несколько ключевых точек для графика $y = \sqrt{x}$:

• Если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$. Точка $(4, 2)$.
• Если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$. Точка $(9, 3)$.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики заданных функций.

а) $y = 2\sqrt{x}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ удваивается.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и найдем новые координаты для $y = 2\sqrt{x}$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте, так как $2 \cdot 0 = 0$.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 2 \cdot 1) = (1, 2)$.
• Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4, 2 \cdot 2) = (4, 4)$.
• Точка $(9, 3)$ переходит в точку $(9, 2 \cdot 3) = (9, 6)$.

Соединив эти новые точки плавной линией, получим график функции $y = 2\sqrt{x}$. Он также начинается в точке $(0, 0)$ и расположен в первой четверти, но поднимается "круче", чем график $y = \sqrt{x}$.

Область определения: $x \ge 0$.

Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ растяжением от оси $Ox$ в 2 раза (то есть, все ординаты точек графика умножаются на 2).

б) $y = -\sqrt{x}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ меняет свой знак на противоположный.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и найдем новые координаты для $y = -\sqrt{x}$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте, так как $-0 = 0$.
• Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -1)$.
• Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4, -2)$.
• Точка $(9, 3)$ переходит в точку $(9, -3)$.

Соединив эти точки, получим график функции $y = -\sqrt{x}$, который является зеркальным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Ox$ и расположен в четвертой координатной четверти.

Область определения: $x \ge 0$.

Область значений: $y \le 0$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

в) $y = \sqrt{-x}$

Сначала определим область определения этой функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси ординат ($Oy$). Это означает, что значения функции для отрицательных $x$ будут такими же, как для соответствующих положительных $x$ у функции $y = \sqrt{x}$.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ и найдем новые координаты для $y = \sqrt{-x}$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте.
• Чтобы получить $y=1$, нужно чтобы под корнем было 1. Значит $-x = 1 \implies x = -1$. Точка $(-1, 1)$.
• Чтобы получить $y=2$, нужно чтобы под корнем было 4. Значит $-x = 4 \implies x = -4$. Точка $(-4, 2)$.
• Чтобы получить $y=3$, нужно чтобы под корнем было 9. Значит $-x = 9 \implies x = -9$. Точка $(-9, 3)$.

Соединив эти точки, получим график функции $y = \sqrt{-x}$, который является зеркальным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Oy$ и расположен во второй координатной четверти.

Область определения: $x \le 0$.

Область значений: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси $Oy$.