Номер 1124, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1124, страница 251.

1124. Сравните g(2) и g(–2), если:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+5} \\ g\left(2\right)=\frac{1}{2^2+5}=\frac{1}{9} \\ g\left(-2\right)=\frac{1}{{\left(-2\right)}^2+5}=\frac{1}{9} \\ g\left(2\right)=g\left(-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}g\left(x\right)=\frac{x}{x^2+5} \\ g\left(2\right)=\frac{2}{2^2+5}=\frac{2}{9} \\ g\left(-2\right)=\frac{-2}{{\left(-2\right)}^2+5}=-\frac{2}{9} \\ g\left(2\right)>g\left(-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}g\left(x\right)=\frac{-x}{x^2+5} \\ g\left(2\right)=\frac{-2}{2^2+5}=-\frac{2}{9} \\ g\left(-2\right)=\frac{-\left(-2\right)}{{\left(-2\right)}^2+5}=\frac{2}{9} \\ g\left(2\right)<g\left(-2\right) \end{gathered}$$

Для того чтобы сравнить значения функции $g(x)$ в точках $2$ и $-2$, необходимо вычислить $g(2)$ и $g(-2)$ для каждого из представленных случаев.

а) Дана функция $g(x) = \frac{1}{x^2 + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 2$, подставив это значение в формулу:

$g(2) = \frac{1}{2^2 + 5} = \frac{1}{4 + 5} = \frac{1}{9}$.

2. Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$g(-2) = \frac{1}{(-2)^2 + 5} = \frac{1}{4 + 5} = \frac{1}{9}$.

3. Сравним полученные значения:

Поскольку $\frac{1}{9} = \frac{1}{9}$, то $g(2) = g(-2)$.

Также можно было определить четность функции. Функция является четной, если $g(-x) = g(x)$. Проверим: $g(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 5} = \frac{1}{x^2 + 5} = g(x)$. Так как функция четная, для любого $a$ из области определения выполняется $g(-a) = g(a)$, следовательно, $g(-2) = g(2)$.

Ответ: $g(2) = g(-2)$.

б) Дана функция $g(x) = \frac{x}{x^2 + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 2$:

$g(2) = \frac{2}{2^2 + 5} = \frac{2}{4 + 5} = \frac{2}{9}$.

2. Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$g(-2) = \frac{-2}{(-2)^2 + 5} = \frac{-2}{4 + 5} = -\frac{2}{9}$.

3. Сравним полученные значения:

Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $\frac{2}{9} > -\frac{2}{9}$, следовательно, $g(2) > g(-2)$.

Также можно было определить нечетность функции. Функция является нечетной, если $g(-x) = -g(x)$. Проверим: $g(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 5} = \frac{-x}{x^2 + 5} = -(\frac{x}{x^2 + 5}) = -g(x)$. Так как функция нечетная, для любого $a$ из области определения выполняется $g(-a) = -g(a)$. В нашем случае $g(-2) = -g(2)$. Так как $g(2)$ — положительное число, $g(-2)$ будет отрицательным, поэтому $g(2) > g(-2)$.

Ответ: $g(2) > g(-2)$.

в) Дана функция $g(x) = \frac{-x}{x^2 + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 2$:

$g(2) = \frac{-2}{2^2 + 5} = \frac{-2}{4 + 5} = -\frac{2}{9}$.

2. Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$g(-2) = \frac{-(-2)}{(-2)^2 + 5} = \frac{2}{4 + 5} = \frac{2}{9}$.

3. Сравним полученные значения:

Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного, $-\frac{2}{9} < \frac{2}{9}$, следовательно, $g(2) < g(-2)$.

Эта функция, как и предыдущая, является нечетной: $g(-x) = \frac{-(-x)}{(-x)^2 + 5} = \frac{x}{x^2 + 5} = -(\frac{-x}{x^2 + 5}) = -g(x)$. Поэтому $g(-2) = -g(2)$. Так как $g(2)$ — отрицательное число, $g(-2)$ будет положительным, поэтому $g(2) < g(-2)$.

Ответ: $g(2) < g(-2)$.