Номер 1125, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Свойства линейной функции. § 14. Свойства некоторых видов функций. Глава 5. Функции - номер 1125, страница 251.

1125. Разложите на множители многочлен:

a) $4x-x^3=x\left(4-x^2\right)=x\left(2-x\right)\left(2+x\right)4x-x^3=x(4-x^2)=x(2-x)(2+x)$

б) $a^4-169a^2=a^2\left(a^2-169\right)=a^2\left(a-13\right)\left(a+13\right)a^4-\; 169\; a^2=a^2(a^2-169)=a^2(a-13)(a+13)$

в) $c^3-8c^2+16c=c\left(c^2-8c+16\right)=c{\left(c-4\right)}^2$

а) Разложим на множители многочлен $4x - x^3$.

1. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$4x - x^3 = x(4 - x^2)$

2. Выражение в скобках $4 - x^2$ представляет собой разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 2$ и $b = x$, поэтому:

$4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

3. Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$x(4 - x^2) = x(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $x(2 - x)(2 + x)$

б) Разложим на множители многочлен $a^4 - 169a^2$.

1. Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^4 - 169a^2 = a^2(a^2 - 169)$

2. Выражение в скобках $a^2 - 169$ является разностью квадратов, так как $169 = 13^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае первый член — это $a$, а второй — $13$.

$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = (a - 13)(a + 13)$

3. Запишем итоговое разложение:

$a^2(a^2 - 169) = a^2(a - 13)(a + 13)$

Ответ: $a^2(a - 13)(a + 13)$

в) Разложим на множители многочлен $c^3 - 8c^2 + 16c$.

1. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$c^3 - 8c^2 + 16c = c(c^2 - 8c + 16)$

2. Выражение в скобках $c^2 - 8c + 16$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Проверим, подходит ли наше выражение под эту формулу. Здесь $a = c$, $b^2 = 16$, значит $b = 4$. Удвоенное произведение $-2ab$ должно быть равно $-2 \cdot c \cdot 4 = -8c$. Это соответствует среднему члену нашего трехчлена.

Следовательно:

$c^2 - 8c + 16 = (c - 4)^2$

3. Запишем итоговое разложение:

$c(c^2 - 8c + 16) = c(c - 4)^2$

Ответ: $c(c - 4)^2$