Страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения и множеством значений функции?

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Область определения функции принято обозначать символом D(f), а множество значений функции - символом E(f).

Определение функции

Функцией (или функциональной зависимостью) называется такое правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Говоря проще, функция — это «машина», которая берет на вход число (аргумент) и выдает на выходе одно-единственное другое число (значение функции).

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом. Переменную $y$ называют зависимой переменной или значением функции. Функциональную зависимость принято обозначать буквой $f$ (а также $g$, $h$ и другими). Запись $y = f(x)$ читается как «игрек равен эф от икс» и означает, что переменная $y$ зависит от переменной $x$ по правилу $f$.

Ответ: Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной.

Область определения функции

Областью определения функции $y = f(x)$ называется множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл (определено). Иными словами, это все те значения $x$, которые можно подставить в функцию, чтобы получить осмысленный результат.

Область определения обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$. Нахождение области определения функции сводится к поиску значений $x$, для которых выполняются все математические операции в формуле. Основные ограничения в школьном курсе математики:

1. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Пример: для функции $y = \frac{1}{x-2}$ должно выполняться условие $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Выражение под знаком квадратного корня (или корня четной степени) должно быть неотрицательным.
Пример: для функции $y = \sqrt{x-5}$ должно выполняться условие $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Область определения: $D(y) = [5; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Множество значений функции

Множеством (или областью) значений функции $y = f(x)$ называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, когда аргумент $x$ пробегает всю область определения функции.

Множество значений обычно обозначается как $E(f)$ или $E(y)$. Чтобы найти множество значений, нужно определить, какие значения может принимать $y$.

Пример 1: для функции $y = x^2$. Область определения — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), переменная $y$ может принимать любые значения от 0 включительно и выше. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Пример 2: для функции $y = \sin(x)$. Область определения — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Из определения синуса известно, что его значения всегда лежат в промежутке от -1 до 1. Множество значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Ответ: Множество значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$.

2. Что называется графиком функции? Что представляет собой график линейной функции? прямой пропорциональности? обратной пропорциональности?

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующих значениям функции.

Графиком линейной функции является прямая, графиком прямой пропорциональности (частный случай линейной функции) является прямая, проходящая через начало координат, графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Что называется графиком функции?

Функция представляет собой зависимость одной переменной (называемой значением функции или ординатой) от другой переменной (называемой аргументом или абсциссой). Чтобы наглядно изобразить эту зависимость, используют график. Каждой паре соответствующих значений аргумента $x$ и функции $y$ соответствует одна точка $(x, y)$ на координатной плоскости. Совокупность всех таких точек и образует график.

Ответ: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Что представляет собой график линейной функции?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и отвечает за угол наклона прямой относительно оси абсцисс. Коэффициент $b$ показывает точку пересечения графика с осью ординат, так как при $x=0$ значение функции равно $b$.

Ответ: График линейной функции представляет собой прямую линию.

Что представляет собой график прямой пропорциональности?

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, когда свободный член $b$ равен нулю. Она задается формулой $y = kx$, где $k \neq 0$. Так как при $x=0$ значение $y$ также равно нулю, график такой функции всегда будет проходить через точку $(0, 0)$.

Ответ: График прямой пропорциональности представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Что представляет собой график обратной пропорциональности?

Обратная пропорциональность — это функциональная зависимость, задаваемая формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — не равное нулю число. График этой функции является кривая, которая называется гиперболой. Гипербола состоит из двух отдельных частей — ветвей. Расположение ветвей зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Ветви гиперболы бесконечно приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают. Оси координат в этом случае называются асимптотами.

Ответ: График обратной пропорциональности представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей.

3. Дайте определение возрастающей (убывающей) функции. Приведите примеры функции, возрастающей на промежутке; убывающей на промежутке. Назовите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 64.

Определение. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Примером возрастающей функции может служить линейная функция y=kx+b, где k>0, примером убывающей функции может служить линейная функция y=kx+b, где k<0.

Промежутки возрастания: [-4;-1] и [2;5], промежутки убывания: [-7;-4] и [-1;2]

Дайте определение возрастающей (убывающей) функции.

Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция $y=f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, верно $f(x_2) > f(x_1)$. Функция называется убывающей, если при тех же условиях для $x_1, x_2$ верно $f(x_2) < f(x_1)$.

Приведите примеры функции, возрастающей на промежутке; убывающей на промежутке.

Пример функции, возрастающей на промежутке: квадратичная функция $y = x^2$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Например, возьмем $x_1=2$ и $x_2=3$. Так как $3 > 2$, то $f(3) > f(2)$, то есть $9 > 4$.

Пример функции, убывающей на промежутке: та же квадратичная функция $y = x^2$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$. Например, возьмем $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Так как $-2 > -3$, то $f(-2) < f(-3)$, то есть $4 < 9$.

Ответ: Пример функции, возрастающей на промежутке: $y=x^2$ на $[0; +\infty)$. Пример функции, убывающей на промежутке: $y=x^2$ на $(-\infty; 0]$.

Назовите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 64.

Поскольку изображение графика функции (рисунок 64) не предоставлено, невозможно точно определить промежутки ее возрастания и убывания. Ниже приведено решение для гипотетического графика.

Предположим, что на рисунке 64 изображен график функции, которая возрастает на промежутке от минус бесконечности до $x=-1$, затем убывает на промежутке от $x=-1$ до $x=4$, и снова возрастает на промежутке от $x=4$ до плюс бесконечности. Точки $x=-1$ и $x=4$ являются точками экстремума (максимума и минимума соответственно) и включаются в оба промежутка.

Тогда промежутками возрастания будут $(-\infty; -1]$ и $[4; +\infty)$.

Промежутком убывания будет $[-1; 4]$.

Ответ: Так как график функции не предоставлен, точный ответ дать невозможно. Для гипотетической функции, описанной выше, промежутки возрастания: $(-\infty; -1]$ и $[4; +\infty)$; промежуток убывания: $[-1; 4]$.