Страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1106. Найдите нули функции (если они существуют):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=-0,8x+12 \\ -0,8x+12=0 \\ -0,8x=-12 \\ x=\frac{-12}{-0,8} \\ x=\frac{120}{8} \\ x=15 \end{gathered}$$

Ответ: 15

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\left(3x-10\right)\left(x+6\right) \\ \left(3x-10\right)\left(x+6\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}3x-10=0& \text{или}& x+6=0\\ 3x=10& & x=-6\\ x=\frac{10}{3} \\ x=3\frac{1}{3}& & \end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -6 и $3\frac{1}{3}3\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{4+2x}{x^2+5} \\ \frac{4+2x}{x^2+5}=0 \\ \begin{array}{lcl}4+2x=0& \text{и}& x^2+5\ne 0\\ 2x=-4& & x^2\ne -5\\ x=-2& & \end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\frac{6}{\left(x-1\right)\left(x+8\right)} \\ \frac{6}{\left(x-1\right)\left(x+8\right)}=0 \end{gathered}$$

Ответ: нулей нет

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $y = 0$.

а) $y = -0,8x + 12$

Приравниваем функцию к нулю:

$-0,8x + 12 = 0$

Переносим 12 в правую часть уравнения:

$-0,8x = -12$

Делим обе части на -0,8:

$x = \frac{-12}{-0,8} = \frac{12}{0,8} = \frac{120}{8} = 15$

Ответ: 15.

б) $y = (3x - 10)(x + 6)$

Приравниваем функцию к нулю:

$(3x - 10)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждую скобку:

$3x - 10 = 0$ или $x + 6 = 0$

Решаем первое уравнение:

$3x = 10$

$x_1 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Решаем второе уравнение:

$x_2 = -6$

Ответ: -6; $3\frac{1}{3}$.

в) $y = \frac{4 + 2x}{x^2 + 5}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{4 + 2x}{x^2 + 5} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Сначала приравняем числитель к нулю:

$4 + 2x = 0$

$2x = -4$

$x = -2$

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при $x = -2$:

$x^2 + 5 = (-2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9$

Так как $9 \neq 0$, то $x = -2$ является нулем функции. (Стоит отметить, что знаменатель $x^2+5$ всегда положителен при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$).

Ответ: -2.

г) $y = \frac{6}{(x - 1)(x + 8)}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{6}{(x - 1)(x + 8)} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 6.

Уравнение $6 = 0$ не имеет решений, так как 6 не равно 0. Следовательно, данная функция не имеет нулей.

Ответ: нулей не существует.

1107. Имеет ли нули функция:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} y=2,1x-70 \\ 2,1x-70=0 \\ 2,1x=70 \\ x=\frac{70}{2,1} \\ x=\frac{700}{21} \\ x=\frac{100}{3} \\ x=33\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: да, $33\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y=4x(x-2) \\ 4x(x-2)=0 \\ х=0 \text{или} x-2=0; x=2 \end{gathered}$$

Ответ: да; 0 и 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y=\frac{6-x}{x} \\ \frac{6-x}{x}=0 /·x\ne 0 \\ 6-x=0 \\ x=6 \end{gathered}$$

Ответ: да; 6

Чтобы определить, имеет ли функция нули, необходимо найти значения аргумента (x), при которых значение функции (y) равно нулю. Для этого нужно решить уравнение $y = 0$ для каждой из предложенных функций.

а) $y = 2,1x - 70$

Приравняем функцию к нулю и решим полученное линейное уравнение:

$2,1x - 70 = 0$

Перенесем слагаемое -70 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2,1x = 70$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,1:

$x = \frac{70}{2,1} = \frac{700}{21} = \frac{100 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{100}{3}$

Уравнение имеет корень, следовательно, функция имеет нуль.

Ответ: да, функция имеет один нуль при $x = \frac{100}{3}$.

б) $y = 4x(x - 2)$

Приравняем функцию к нулю:

$4x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $4x = 0 \implies x = 0$

2) $x - 2 = 0 \implies x = 2$

Уравнение имеет два корня, следовательно, функция имеет два нуля.

Ответ: да, функция имеет два нуля: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

в) $y = \frac{6 - x}{x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Теперь приравняем функцию к нулю:

$\frac{6 - x}{x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Приравняем числитель к нулю:

$6 - x = 0$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $6 \neq 0$, то $x = 6$ является нулем функции.

Ответ: да, функция имеет один нуль при $x = 6$.

1108. Укажите область определения и найдите нули функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5} \\ \left\{\begin{array}{c}x+6\ge 0\\ x+5\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x\ge -6\\ x\ne -5\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} D\left(y\right)=[-6;-5)\cup \left(-5; +\mathrm{\infty }\right) \\ \frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5}=0 /·\left(x+5\right) \\ x-\sqrt{x+6}=0 \\ x=\sqrt{x+6} \\ {x}^2=x+6 \\ {x}^2-x-6=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)=1+24=25 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{1\pm 5}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-2 \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=[-6; -5)\cup \left(-5; +\mathrm{\infty }\right); -2 \text{и} 3$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}} \\ \left\{\begin{array}{l}10-6x\ge 0\\ 2x-\sqrt{10-6x}\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6x\le 10\\ 2x\ne \sqrt{10-6x}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{10}{6}\\ 4x^2\ne 10-6x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le \frac{5}{3}\\ 4x^2+6x-10\ne 0\end{array}\right. \\ 4x^2+6x-10=0\mathrm{/}:2 \\ 2x^2+3x-5=0 \\ D=3^2-4·2·\left(-5\right)=9+40=49 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{4}; x=\frac{-3\pm 7}{4} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}=-\mathrm{2,5} \\ \left\{\begin{array}{l}x\le 1\frac{2}{3}\\ x\ne 1\text{ и }x\ne -2,5\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -2,5\right)\cup (-2,5; 1)\cup (1; 1\frac{2}{3}] \\ \frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}=0 \\ 4x^2+25x=0 \\ x\left(4x+25\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 4x+25=0\\ & & 4x=-25\\ & & x=-\frac{25}{4}\\ & & x=-6,25\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -2,5\right)\cup \left(-2,5; 1\right)\cup (1; 1\frac{2}{3}];$ $-6,25 \text{и} 0$

а) $y = \frac{x - \sqrt{x + 6}}{x + 5}$

1. Найдем область определения функции $D(y)$.
Область определения функции задается системой неравенств, вытекающих из ограничений на переменные:
1) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 6 \geq 0$, что дает $x \geq -6$.
2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 5 \neq 0$, что дает $x \neq -5$.
Совмещая оба условия, получаем, что область определения функции D(y) это все числа $x$, такие что $x \geq -6$ и $x \neq -5$.
В виде интервала это записывается как $D(y) = [-6, -5) \cup (-5, +\infty)$.

2. Найдем нули функции.
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x - \sqrt{x + 6} = 0$
$x = \sqrt{x + 6}$
Поскольку арифметический квадратный корень (правая часть) всегда неотрицателен, левая часть также должна быть неотрицательной, то есть $x \geq 0$. Это является условием для отбора корней.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$x^2 = (\sqrt{x + 6})^2$
$x^2 = x + 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x \geq 0$.
- Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \geq 0$).
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), следовательно, это посторонний корень.
Единственный корень уравнения — $x = 3$. Это значение входит в область определения функции, так как $3 \in [-6, -5) \cup (-5, +\infty)$.
Следовательно, у функции один нуль.

Ответ: область определения: $x \in [-6, -5) \cup (-5, +\infty)$; нули функции: $x = 3$.

б) $y = \frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10 - 6x}}$

1. Найдем область определения функции $D(y)$.
Функция определена при выполнении следующих условий:
1) Поражение под корнем неотрицательно: $10 - 6x \geq 0 \implies 10 \geq 6x \implies x \leq \frac{10}{6} \implies x \leq \frac{5}{3}$.
2) Знаменатель не равен нулю: $2x - \sqrt{10 - 6x} \neq 0$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, чтобы исключить их.
$2x = \sqrt{10 - 6x}$
Для равенства необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $2x \geq 0 \implies x \geq 0$.
При этом условии возведем обе части в квадрат:
$(2x)^2 = 10 - 6x$
$4x^2 + 6x - 10 = 0$
Разделим уравнение на 2: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Найдем корни через дискриминант: $D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5$.
Проверим корни на соответствие условию $x \geq 0$:
- $x_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \geq 0$).
- $x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию ($-2.5 < 0$).
Таким образом, знаменатель равен нулю только при $x = 1$. Это значение нужно исключить.
Объединяя условия $x \leq \frac{5}{3}$ и $x \neq 1$, получаем область определения: $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$.

2. Найдем нули функции.
Нули функции соответствуют значениям $x$, при которых $y = 0$. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$4x^2 + 25x = 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(4x + 25) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $4x + 25 = 0 \implies 4x = -25 \implies x_2 = -\frac{25}{4} = -6.25$.
Проверим, принадлежат ли эти значения области определения $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$:
- $x_1 = 0$ принадлежит области определения, так как $0 \in (-\infty, 1)$.
- $x_2 = -6.25$ принадлежит области определения, так как $-6.25 \in (-\infty, 1)$.
Оба значения являются нулями функции.

Ответ: область определения: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$; нули функции: $x = -6.25, x = 0$.

1109. Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=x+1 \text{и} y=\frac{2}{x} \\ x+1=\frac{2}{x} \mathrm{/}·x\ne 0 \\ {x}^2+x=2 \\ {x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{-1\pm 3}{2} \\ {x}_1=1; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=x+1=1+1=2; \left(1; 2\right)y=x+1=1+1=2;\; (1;\; 2)$,

если $x=-2x=-2$, то $y=x+1=-2+1=-1; \left(-2; -1\right)y=x+1=-2+1=-1;\; (-2;\; -1)$

Ответ: пересекаются в точках $\left(1; 2\right)(1;\; 2)$ и $\left(-2; -1\right)(-2;\; -1)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=-2x-2 \text{и }y=\frac{1}{x} \\ -2x-2=\frac{1}{x} \mathrm{/}·x\ne 0 \\ -2x^2-2x=1 \\ -2x^2-2x-1=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·\left(-2\right)·\left(-1\right)=4-8=-4<0 \end{gathered}$$

Ответ: не пересекаются

а) Чтобы определить, пересекаются ли графики прямой $y = x + 1$ и гиперболы $y = \frac{2}{x}$, нужно найти общие точки, в которых значения $y$ равны. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x + 1 = \frac{2}{x}$
Поскольку в уравнении гиперболы $x$ находится в знаменателе, $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:
$x(x + 1) = 2$
$x^2 + x = 2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.
Таким образом, мы получили два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Это означает, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках.
Теперь найдем соответствующие координаты $y$ для каждого значения $x$, подставив их в уравнение прямой $y = x + 1$:
1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения: $(1; 2)$.
2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$. Точка пересечения: $(-2; -1)$.
Ответ: Да, пересекаются в точках $(1; 2)$ и $(-2; -1)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений прямой $y = -2x - 2$ и гиперболы $y = \frac{1}{x}$:
$-2x - 2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x(-2x - 2) = 1$
$-2x^2 - 2x = 1$
Перенесем все в одну сторону:
$-2x^2 - 2x - 1 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на $-1$:
$2x^2 + 2x + 1 = 0$
Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения, чтобы определить, есть ли у него действительные корни. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a = 2$, $b = 2$, $c = 1$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$
Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором графики функций пересекались бы.
Ответ: Нет, не пересекаются.

1110. Найдите, при каких значениях x значения функции y = 2x – 3 удовлетворяют неравенству –3 ‹ y ≤ 5.

Ответ при

Нам нужно найти значения $x$, при которых для функции $y = 2x - 3$ выполняется неравенство $-3 < y \le 5$.

Для этого подставим выражение $2x - 3$ вместо $y$ в данное двойное неравенство:

$-3 < 2x - 3 \le 5$

Теперь решим это неравенство относительно $x$. Сначала прибавим 3 ко всем трем частям неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$:

$-3 + 3 < 2x - 3 + 3 \le 5 + 3$

$0 < 2x \le 8$

Далее, разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{0}{2} < \frac{2x}{2} \le \frac{8}{2}$

$0 < x \le 4$

Таким образом, значения функции удовлетворяют заданному неравенству при значениях $x$ из промежутка $(0; 4]$.

Ответ: $0 < x \le 4$.

1111. Докажите тождество:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}(\frac{a+1}{a^2+1-2a}+\frac{1}{a-1})·\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1}=0 \\ {a}^2-2a+1={\left(a-1\right)}^2 \end{gathered}$$

1) $\frac{a+1}{{\left(a-1\right)}^2}+\frac{1}{a-1}=\frac{a+1+a-1}{{\left(a-1\right)}^2}=\frac{2a}{{\left(a-1\right)}^2}$

2) $\frac{2a}{{\left(a-1\right)}^2}·\frac{a-1}{a}=\frac{2a}{\left(a-1\right)a}=\frac{2}{a-1}$

3) $\frac{2}{a-1}-\frac{2}{a-1}=0\backslash frac\{2\}\{a-1\}-\backslash frac\{2\}\{a-1\}=0$, что и требовалось доказать

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}\right)·\frac{x^{2}y-y^{2}x}{x+y}= \\ =\left(\frac{1+x}{x\left(x-y\right)}-\frac{1-y}{y\left(y-x\right)}\right)·\frac{xy\left(x-y\right)}{x+y}= \\ =\left(\frac{1+x}{x\left(x-y\right)}+\frac{1-y}{y\left(x-y\right)}\right)·\frac{xy\left(x-y\right)}{x+y}= \\ =\frac{\left(1+x\right)y+\left(1-y\right)x}{xy\left(x-y\right)}·\frac{xy\left(x-y\right)}{x+y}= \end{gathered}$$
$=\frac{y+xy+x-xy}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}=1$, что и требовалось доказать

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{a^3-c^3}·\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}= \\ =3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{\left(a-c\right)(a^2+ac+c^2)}·\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)- \\ -\frac{3c^2}{a^2-c^2}=3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{(a-c)(a+c)}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}= \\ =3a\left(\frac{a+c-c}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3a^2}{a^2-c^2}- \end{gathered}$$
$-\frac{3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2}=3$, что и требовалось доказать

а)

Преобразуем левую часть тождества по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что знаменатель первой дроби $a^2 + 1 - 2a$ является полным квадратом разности $(a-1)^2$.

1. Сложение в скобках:

$\frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1}{a-1}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(a-1)^2$:

$\frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a-1)} = \frac{a+1+a-1}{(a-1)^2} = \frac{2a}{(a-1)^2}$

2. Умножение:

Теперь умножим результат первого действия на дробь $\frac{a-1}{a}$:

$\frac{2a}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a} = \frac{2a \cdot (a-1)}{(a-1)^2 \cdot a}$

Сокращаем общие множители $a$ и $(a-1)$:

$\frac{2}{a-1}$

3. Вычитание:

Из результата второго действия вычтем последнюю дробь:

$\frac{2}{a-1} - \frac{2}{a-1} = 0$

Левая часть выражения равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$x^2 - xy = x(x-y)$

$y^2 - xy = y(y-x) = -y(x-y)$

1. Вычитание в скобках:

$\frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy} = \frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{-y(x-y)} = \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{y(x-y)}$

Приводим к общему знаменателю $xy(x-y)$:

$\frac{y(1+x) + x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)}$

2. Упростим второй множитель:

Вынесем общий множитель $xy$ из числителя:

$\frac{x^2y - y^2x}{x+y} = \frac{xy(x-y)}{x+y}$

3. Умножение:

Перемножим результаты первых двух действий:

$\frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{x+y}$

Сокращаем все общие множители в числителе и знаменателе, в результате чего получаем 1.

Левая часть выражения равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

в)

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Сначала выполним умножение внутри скобок. Для этого разложим знаменатель $a^3-c^3$ по формуле разности кубов: $a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$.

$\frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}$

Сокращаем $(a^2+ac+c^2)$:

$\frac{c}{(a-c)(a+c)}$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{1}{a-c} - \frac{c}{(a-c)(a+c)}$

Приводим к общему знаменателю $(a-c)(a+c)$:

$\frac{1(a+c) - c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a}{(a-c)(a+c)}$

Заметим, что $(a-c)(a+c) = a^2-c^2$, поэтому выражение равно $\frac{a}{a^2-c^2}$.

3. Умножим результат на $3a$:

$3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2}$

4. Выполним последнее вычитание:

$\frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}$

Вынесем 3 за скобки в числителе:

$\frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} = 3$

Левая часть выражения равна 3, что и требовалось доказать.

Ответ: 3.

1112. Найдите значение выражения при a = –1,2.

(9 – 4a²) 4a2a - 3- 1

$$\begin{gathered} \left(9-4a^2\right)\left(\frac{4a}{2a-3}-1\right)= \\ =\left(3-2a\right)\left(3+2a\right)\left(\frac{4a-\left(2a-3\right)}{2a-3}\right)= \\ =-\left(2a-3\right)\left(3+2a\right)\frac{4a-2a+3}{2a-3}= \\ =-\left(3+2a\right)\left(2a+3\right)=-{\left(2a+3\right)}^2 \\ \text{при }a=-1,2 \\ -{\left(2·\left(-1,2\right)+3\right)}^2=-{\left(-2,4+3\right)}^2=-0,6^2=-0,36 \end{gathered}$$

Ответ: -0,36

Для нахождения значения выражения $(9 - 4a^2)(\frac{4a}{2a-3} - 1)$ при $a = -1.2$ целесообразно сначала упростить его.

1. Упростим первый множитель $(9 - 4a^2)$, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$9 - 4a^2 = 3^2 - (2a)^2 = (3 - 2a)(3 + 2a)$

2. Упростим второй множитель $(\frac{4a}{2a-3} - 1)$, приведя его к общему знаменателю $(2a-3)$:

$\frac{4a}{2a-3} - 1 = \frac{4a}{2a-3} - \frac{2a-3}{2a-3} = \frac{4a - (2a-3)}{2a-3} = \frac{4a - 2a + 3}{2a-3} = \frac{2a+3}{2a-3}$

3. Теперь перемножим упрощенные части исходного выражения:

$(9 - 4a^2)(\frac{4a}{2a-3} - 1) = (3 - 2a)(3 + 2a) \cdot \frac{2a+3}{2a-3}$

Заметим, что множитель $(3-2a)$ можно представить как $-(2a-3)$. Тогда выражение примет вид:

$-(2a-3)(2a+3) \cdot \frac{2a+3}{2a-3}$

При условии, что $2a-3 \ne 0$ (при $a=-1.2$ это условие выполняется), мы можем сократить дробь на $(2a-3)$:

$-(2a+3)(2a+3) = -(2a+3)^2$

4. Подставим значение $a = -1.2$ в полученное упрощенное выражение:

$-(2 \cdot (-1.2) + 3)^2 = -(-2.4 + 3)^2 = -(0.6)^2 = -0.36$

Ответ: $-0.36$

1113. Сравните числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5}{7}>\frac{4}{9} \\ \frac{45}{63}>\frac{28}{63} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{38}{39}>\frac{11}{12} \\ \frac{152}{156}>\frac{143}{156} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3,12<3\frac{1}{8} \\ 3,12<3,125 \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{г) }}17,2\left(7\right)>17,27$

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{4}{9}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 равен их произведению, так как они взаимно простые числа: $7 \times 9 = 63$.
Приведем первую дробь к знаменателю 63:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$
Приведем вторую дробь к знаменателю 63:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 7}{9 \times 7} = \frac{28}{63}$
Теперь сравним полученные дроби. Так как у них одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $45 > 28$.
Следовательно, $\frac{45}{63} > \frac{28}{63}$, а значит $\frac{5}{7} > \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{7} > \frac{4}{9}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{38}{39}$ и $\frac{11}{12}$, можно сравнить, насколько каждая из них меньше единицы. Обе дроби правильные, то есть меньше 1.
Найдем разность между 1 и первой дробью:
$1 - \frac{38}{39} = \frac{39}{39} - \frac{38}{39} = \frac{1}{39}$
Найдем разность между 1 и второй дробью:
$1 - \frac{11}{12} = \frac{12}{12} - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$
Теперь нужно сравнить дроби $\frac{1}{39}$ и $\frac{1}{12}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) большей будет та, у которой знаменатель меньше.
Так как $12 < 39$, то $\frac{1}{12} > \frac{1}{39}$.
Это означает, что дробь $\frac{11}{12}$ отстоит от единицы на большее расстояние, чем дробь $\frac{38}{39}$. Следовательно, дробь $\frac{38}{39}$ ближе к единице, а значит, она больше.
Ответ: $\frac{38}{39} > \frac{11}{12}$.

в) Чтобы сравнить числа $3,12$ и $3\frac{1}{8}$, представим их в одном виде, например, в виде десятичных дробей.
Первое число уже является десятичной дробью: $3,12$.
Второе число $3\frac{1}{8}$ переведем в десятичную дробь. Для этого переведем дробную часть $\frac{1}{8}$ в десятичную дробь, разделив 1 на 8:
$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$
Таким образом, $3\frac{1}{8} = 3 + 0,125 = 3,125$.
Теперь сравним десятичные дроби $3,12$ и $3,125$. Для удобства можно записать $3,12$ как $3,120$.
Сравниваем $3,120$ и $3,125$. Целые части равны (3), десятые доли равны (1), сотые доли равны (2). Сравниваем тысячные доли: у первого числа 0, у второго 5.
Так как $0 < 5$, то $3,120 < 3,125$.
Следовательно, $3,12 < 3\frac{1}{8}$.
Ответ: $3,12 < 3\frac{1}{8}$.

г) Чтобы сравнить числа $17,2(7)$ и $17,27$, распишем их в развернутом виде.
Первое число $17,2(7)$ — это периодическая десятичная дробь, где цифра 7 повторяется бесконечно:
$17,2(7) = 17,2777...$
Второе число $17,27$ — это конечная десятичная дробь. Её можно представить с бесконечным количеством нулей на конце:
$17,27 = 17,2700...$
Теперь сравним эти два числа поразрядно, двигаясь слева направо.
Целые части равны: $17 = 17$.
Разряд десятых равен: $2 = 2$.
Разряд сотых равен: $7 = 7$.
Разряд тысячных: у первого числа это 7, у второго — 0.
Так как $7 > 0$, то первое число больше второго.
$17,2777... > 17,2700...$
Следовательно, $17,2(7) > 17,27$.
Ответ: $17,2(7) > 17,27$.