Страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1088. На рисунке 56 изображены графики функций, заданных формулами y =$\frac{x}{2}$, y =$\frac{2}{x}$, y = 2 -$\frac{x}{2}$, y = -$\frac{2}{x}$. Для каждой функции укажите соответствующий график.

$$\begin{gathered} y=\frac{x}{2}-3. \\ y=\frac{2}{x}-1. \\ y=2-\frac{x}{x}-4. \\ y=-\frac{2}{x}-2. \end{gathered}$$

$y = \frac{x}{2}$

Данная функция является линейной, ее можно записать в виде $y=kx+b$, где $k=\frac{1}{2}$ и $b=0$. Поскольку свободный член $b=0$, график функции проходит через начало координат (0, 0). Угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$ положителен, следовательно, функция возрастает. Этим характеристикам соответствует график под номером 3.

Ответ: 3

$y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=2$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=2 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Этому описанию соответствует график под номером 1.

Ответ: 1

$y = 2 - \frac{x}{2}$

Данная функция является линейной. Запишем ее в виде $y=kx+b$: $y=-\frac{1}{2}x+2$. Угловой коэффициент $k=-\frac{1}{2}$ отрицателен, значит, функция убывает. Свободный член $b=2$ показывает, что график пересекает ось $y$ в точке (0, 2). Этим характеристикам соответствует график под номером 4.

Ответ: 4

$y = -\frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-2$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-2 < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях. Этому описанию соответствует график под номером 2.

Ответ: 2

1089. По графику функции y = |x| (см. рис. 52) найдите, при каких значениях x:

а) |x| = 3,5;

б) |x| ‹ 2;

в) |x| ≥ 4.

Каково наименьшее значение функции? Имеет ли она наибольшее значение? Каково множество значений функции?

а) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=3,5|x|=3,5$ при

$x=-3,5x=-3,5$ и $x=3,5x=3,5$

б) при

в) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ge 4$ при

$x\le -4x\; \backslash le\; -4$ или $x\ge 4x\; \backslash ge\; 4$

Наименьшее значение функции $y=0y=0$

Наибольшего значения нет.

$E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty })$

Для решения задачи используется график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

а) $|x| = 3,5$

Чтобы решить уравнение $|x| = 3,5$ графически, необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции $y = |x|$ и горизонтальной прямой $y = 3,5$. Эта прямая пересекает график в двух точках, симметричных относительно оси OY.

Для правой ветви графика ($y = x$ при $x \ge 0$) получаем уравнение $x = 3,5$.

Для левой ветви графика ($y = -x$ при $x < 0$) получаем уравнение $-x = 3,5$, откуда $x = -3,5$.

Ответ: $x = -3,5$; $x = 3,5$.

б) $|x| < 2$

Чтобы решить неравенство $|x| < 2$ графически, нужно найти те значения $x$, для которых точки графика функции $y = |x|$ расположены ниже прямой $y = 2$.

Сначала находим точки пересечения графиков $y = |x|$ и $y = 2$. Из уравнения $|x| = 2$ следует, что $x = 2$ и $x = -2$.

График $y = |x|$ находится ниже прямой $y = 2$ на интервале между точками $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $-2 < x < 2$.

в) $|x| \ge 4$

Чтобы решить неравенство $|x| \ge 4$ графически, нужно найти те значения $x$, для которых точки графика функции $y = |x|$ расположены на прямой $y = 4$ или выше нее.

Сначала находим точки пересечения графиков $y = |x|$ и $y = 4$. Из уравнения $|x| = 4$ следует, что $x = 4$ и $x = -4$.

График $y = |x|$ находится на прямой $y=4$ или выше нее при $x$, меньших или равных $-4$, и при $x$, больших или равных $4$.

Ответ: $x \le -4$ или $x \ge 4$.

Каково наименьшее значение функции?

Наименьшее значение функции $y = |x|$ достигается в точке ее минимума (вершине), которая находится в начале координат $(0, 0)$. Значение функции в этой точке равно $y = |0| = 0$. Так как модуль любого числа всегда неотрицателен, т.е. $|x| \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.

Имеет ли она наибольшее значение?

Лучи графика $y = |x|$ уходят вверх бесконечно. Это означает, что для сколь угодно большого числа $M$ всегда можно найти такое значение $x$ (например, $x > M$), что $|x| > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху и не имеет наибольшего значения.

Ответ: Нет, наибольшего значения функция не имеет.

Каково множество значений функции?

Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно 0 и она может принимать любое положительное значение, то множество значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: Множество значений функции: $[0; +\infty)$.

1090. Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой:

Каково множество значений функции?

a) $y=x^3-8xy=x^3-8x$, где $-3\le x\le 3$

$E\left(y\right)=[-8; 8]$

б) $y=\frac{4}{x+2}y=\backslash frac\{4\}\{x+2\}$, где $-1,5\le x\le 6$

$E\left(y\right)=\left[\frac{1}{2}; 8\right]$

а) $y = x^3 - 8x$, где $-3 \le x \le 3$.

1. Составим таблицу значений функции.

Для построения графика выберем несколько целочисленных значений $x$ из отрезка $[-3, 3]$, а также добавим точки локальных экстремумов для большей точности.

2. Построение графика.

График функции – это кубическая парабола. На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной кривой, учитывая, что в точках $x \approx -1.63$ и $x \approx 1.63$ находятся "вершины" изгибов графика.

3. Нахождение множества значений функции.

Множество значений функции на отрезке – это все значения, которые принимает функция, от ее наименьшего до наибольшего значения на этом отрезке. Наименьшее и наибольшее значения ищутся среди значений функции на концах отрезка и в точках экстремума.

Найдем производную функции: $y' = (x^3 - 8x)' = 3x^2 - 8$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{8}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Обе критические точки $x_1 = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$ и $x_2 = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ принадлежат отрезку $[-3, 3]$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $y(-3) = -3$
• $y(3) = 3$
• $y(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = \frac{32\sqrt{6}}{9}$ (локальный максимум)
• $y(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = -\frac{32\sqrt{6}}{9}$ (локальный минимум)

Сравнивая эти значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-\frac{32\sqrt{6}}{9}$, а наибольшее равно $\frac{32\sqrt{6}}{9}$.

Таким образом, множество значений функции $E(y)$ на отрезке $[-3, 3]$ есть отрезок $[-\frac{32\sqrt{6}}{9}, \frac{32\sqrt{6}}{9}]$.

Ответ: Множество значений функции: $[-\frac{32\sqrt{6}}{9}, \frac{32\sqrt{6}}{9}] $.

б) $y = \frac{4}{x+2}$, где $-1,5 \le x \le 6$.

1. Составим таблицу значений функции.

2. Построение графика.

График функции – это часть гиперболы $y = \frac{4}{x}$, смещенной на 2 единицы влево. На заданном отрезке $[-1.5, 6]$ функция является убывающей. На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной кривой.

3. Нахождение множества значений функции.

Чтобы найти множество значений, исследуем поведение функции на отрезке $[-1.5, 6]$. Найдем производную:

$y' = (\frac{4}{x+2})' = -\frac{4}{(x+2)^2}$.

Поскольку знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен на области определения, производная $y'$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция является монотонно убывающей на всем заданном отрезке.

Для монотонно убывающей функции на отрезке ее наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее – в правом.

• Наибольшее значение: $y_{max} = y(-1.5) = \frac{4}{-1.5+2} = 8$.
• Наименьшее значение: $y_{min} = y(6) = \frac{4}{6+2} = 0.5$.

Следовательно, множество значений функции $E(y)$ на отрезке $[-1.5, 6]$ есть отрезок $[0.5, 8]$.

Ответ: Множество значений функции: $[0.5, 8]$.