Страница 243 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1093. Зависимость расстояния s (км), которое велосипедист проехал от турбазы, от времени его движения t (ч) задана следующим образом:

Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2). Постройте график функции s = f(t) (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки). Опишите, как происходило движение велосипедиста.

$S=\left\{\begin{array}{l}15t, \text{если}0\le t<\frac{7}{6},\\ \mathrm{17,5}, \text{если}\frac{7}{6}\le t\le \frac{3}{2},\\ -12t+\mathrm{35,5}, \text{если}\frac{3}{2}<t\le \frac{5}{2}\end{array}\right.$

S(0)=15*0=0;

S(1)=15*1=15

S(1,4)=17,5

S(2)=-12*2+35,5=-24+35,5=11,5

$[0; \frac{7}{6})$ч велосипедист ехал от турбазы со скоростью 15км/ч

$\left[\frac{7}{6}; \frac{3}{2}\right]$ч - велосипедист отдыхал

$\left[\frac{3}{2}; \frac{5}{2}\right]$ - велосипедист возвращался на турбазу

Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2).

Для нахождения значений функции $s(t)$ в заданных точках, необходимо определить, какому временному интервалу принадлежит каждая точка $t$, и использовать соответствующую этой части функции формулу.

1. s(0):
Значение $t=0$ принадлежит первому интервалу $0 \le t < \frac{7}{6}$, так как $0 \le 0 < 1,167...$
Используем формулу $s(t) = 15t$.
$s(0) = 15 \cdot 0 = 0$ км.

2. s(1):
Значение $t=1$ принадлежит первому интервалу $0 \le t < \frac{7}{6}$, так как $0 \le 1 < 1,167...$
Используем формулу $s(t) = 15t$.
$s(1) = 15 \cdot 1 = 15$ км.

3. s(1,4):
Переведем границы второго интервала в десятичные дроби: $\frac{7}{6} \approx 1,167$ и $\frac{3}{2} = 1,5$.
Значение $t=1,4$ принадлежит второму интервалу $\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$, так как $1,167 \le 1,4 \le 1,5$.
Используем формулу $s(t) = 17,5$.
$s(1,4) = 17,5$ км.

4. s(2):
Переведем границы третьего интервала в десятичные дроби: $\frac{3}{2} = 1,5$ и $\frac{5}{2} = 2,5$.
Значение $t=2$ принадлежит третьему интервалу $\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$, так как $1,5 < 2 \le 2,5$.
Используем формулу $s(t) = -12t + 35,5$.
$s(2) = -12 \cdot 2 + 35,5 = -24 + 35,5 = 11,5$ км.

Ответ: $s(0)=0$ км, $s(1)=15$ км, $s(1,4)=17,5$ км, $s(2)=11,5$ км.

Постройте график функции s = f(t).

График функции состоит из трех частей, каждая из которых является отрезком прямой. Для построения графика найдем координаты ключевых (граничных) точек на каждом интервале.

1. Участок $0 \le t < \frac{7}{6}$: $s(t) = 15t$
Это отрезок прямой.
Начальная точка: при $t=0$, $s(0) = 15 \cdot 0 = 0$. Координаты: $(0; 0)$.
Конечная точка (не включена): при $t=\frac{7}{6}$, $s(\frac{7}{6}) = 15 \cdot \frac{7}{6} = \frac{105}{6} = 17,5$. Координаты: $(\frac{7}{6}; 17,5)$.

2. Участок $\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$: $s(t) = 17,5$
Это горизонтальный отрезок прямой.
Начальная точка: при $t=\frac{7}{6}$, $s=17,5$. Координаты: $(\frac{7}{6}; 17,5)$.
Конечная точка: при $t=\frac{3}{2}=1,5$, $s=17,5$. Координаты: $(1,5; 17,5)$.

3. Участок $\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$: $s(t) = -12t + 35,5$
Это отрезок прямой.
Начальная точка (не включена): при $t=\frac{3}{2}=1,5$, $s(1,5) = -12 \cdot 1,5 + 35,5 = -18 + 35,5 = 17,5$. Координаты: $(1,5; 17,5)$.
Конечная точка: при $t=\frac{5}{2}=2,5$, $s(2,5) = -12 \cdot 2,5 + 35,5 = -30 + 35,5 = 5,5$. Координаты: $(2,5; 5,5)$.

Функция является непрерывной, так как значения на стыках интервалов совпадают. График представляет собой ломаную линию, проходящую через точки $(0; 0)$, $(\frac{7}{6}; 17,5)$, $(1,5; 17,5)$ и $(2,5; 5,5)$. Для построения в заданном масштабе (ось $t$: 1 ед. = 6 клеточек; ось $s$: 10 ед. = 4 клеточки) нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их отрезками.

Ответ: График функции является ломаной линией, последовательно соединяющей точки с координатами $(0; 0)$, $(\frac{7}{6}; 17,5)$, $(\frac{3}{2}; 17,5)$ и $(\frac{5}{2}; 5,5)$.

Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Анализ графика и функции $s(t)$ позволяет описать движение велосипедиста, где $s$ — расстояние от турбазы в км, а $t$ — время в часах.

1. Первый этап ($0 \le t < \frac{7}{6}$ ч):
Функция $s(t)=15t$ — линейная с положительным коэффициентом. Это означает, что велосипедист движется от турбазы с постоянной скоростью. Скорость равна угловому коэффициенту, то есть 15 км/ч. Этот этап длится $\frac{7}{6}$ часа (что равно 1 часу 10 минутам). За это время велосипедист удалился на расстояние $s(\frac{7}{6}) = 17,5$ км.

2. Второй этап ($\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$ ч):
Функция $s(t)=17,5$ — постоянная. Расстояние от турбазы не меняется. Это означает, что велосипедист остановился. Продолжительность остановки: $\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9-7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ часа (что равно 20 минутам). Остановка произошла на расстоянии 17,5 км от турбазы.

3. Третий этап ($\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$ ч):
Функция $s(t)=-12t+35,5$ — линейная с отрицательным коэффициентом. Это означает, что расстояние от турбазы уменьшается, то есть велосипедист движется обратно к турбазе. Его скорость постоянна и равна модулю углового коэффициента: $|-12| = 12$ км/ч. Этот этап длится $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$ час. В конце этого этапа (при $t=2,5$ ч) велосипедист находился на расстоянии $s(2,5) = 5,5$ км от турбазы.

Ответ: Велосипедист выехал с турбазы и двигался с постоянной скоростью 15 км/ч в течение 1 часа 10 минут, проехав 17,5 км. Затем он сделал остановку на 20 минут. После остановки он поехал обратно в сторону турбазы со скоростью 12 км/ч в течение 1 часа. По окончании наблюдения (через 2,5 часа после старта) он находился на расстоянии 5,5 км от турбазы.

1094. Решите уравнение:

a) -0,5(3x-4)+15x=4(1,5x+1)+3

-1,5x+2+15x=6x+4+3

13,5x-6x=7-2

7,5x=5

$$\begin{gathered} x=\frac{5}{7,5}x=\backslash frac\{5\}\{7,5\} \\ x=\frac{50}{75}x=\backslash frac\{50\}\{75\} \\ x=\frac{2}{3}x=\backslash frac\{2\}\{3\} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$

б) (2x-3)(2x+3)-x²=12x-69+3x²

4x²-9-x²-3x²-12x=-69

-12x=-69+9

-12x=-60

x=5

Ответ: 5

а) $-0,5(3x - 4) + 15x = 4(1,5x + 1) + 3$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в обеих частях.

В левой части: $-0,5 \cdot 3x - 0,5 \cdot (-4) + 15x = -1,5x + 2 + 15x$.

В правой части: $4 \cdot 1,5x + 4 \cdot 1 + 3 = 6x + 4 + 3$.

Уравнение принимает вид:

$-1,5x + 2 + 15x = 6x + 7$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(-1,5x + 15x) + 2 = 6x + (4 + 3)$

$13,5x + 2 = 6x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, не забывая изменять их знаки на противоположные:

$13,5x - 6x = 7 - 2$

Выполним вычитание:

$7,5x = 5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $7,5$:

$x = \frac{5}{7,5}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{50}{75}$

Сократим полученную дробь на 25:

$x = \frac{50 \div 25}{75 \div 25} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) $(2x - 3)(2x + 3) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$

В левой части уравнения находится произведение $(2x - 3)(2x + 3)$, которое можно раскрыть с помощью формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу:

$(2x)^2 - 3^2 - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$

$4x^2 - 9 - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4x^2 - x^2) - 9 = 12x - 69 + 3x^2$

$3x^2 - 9 = 12x - 69 + 3x^2$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую.

$3x^2 - 3x^2 - 12x = -69 + 9$

Слагаемые $3x^2$ и $-3x^2$ в левой части взаимно уничтожаются:

$-12x = -60$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-12$:

$x = \frac{-60}{-12}$

$x = 5$

Ответ: $5$.

1095. Решите не полное квадратное уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}6x^2-3x=0 \\ 3x\left(2x-1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 2x-1=0\\ & & 2x=1 \\ x=\mathrm{0,5}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 0; 0,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+9x=0 \\ x\left(x+9\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+9=0\\ & & x=-9\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -9; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2-36=0 \\ {x}^2=36 \\ x=-6; x=6 \end{gathered}$$

Ответ: -6; 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}5x^2+1=0 \\ 5x^2=-1 \\ {x}^2=-\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Ответ: решений нет

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}0,5x^2-1=0 \\ 0,5x^2=1 \\ {x}^2=\frac{1}{\mathrm{0,5}} \\ {x}^2=2 \\ x=-\sqrt{2}; x=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}-\backslash sqrt\{2\};\; \backslash sqrt\{2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}0,6x+9x^2=0 \\ x\left(0,6+9x\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 9x+0,6=0\\ & & 9x=-0,6 \\ x=-\frac{\mathrm{0,6}}{9} \\ x=-\frac{6}{90} \\ x=-\frac{1}{15}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{1}{15}; 0-\backslash frac\{1\}\{15\};\; 0$

а) $6x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $0; 0,5$.

б) $x^2 + 9x = 0$

Это также неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $x + 9 = 0 \implies x_2 = -9$

Ответ: $-9; 0$.

в) $x^2 - 36 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 36$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про два возможных знака:

$x = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6, x_2 = -6$

Ответ: $-6; 6$.

г) $5x^2 + 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$5x^2 = -1$

Разделим обе части на 5:

$x^2 = -\frac{1}{5}$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку в левой части стоит $x^2$ (неотрицательное число), а в правой — отрицательное число, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней.

д) $0,5x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$0,5x^2 = 1$

Разделим обе части на 0,5:

$x^2 = \frac{1}{0,5}$

$x^2 = 2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{2}$

$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

е) $0,6x + 9x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для удобства поменяем слагаемые местами:

$9x^2 + 0,6x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9x + 0,6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $9x + 0,6 = 0 \implies 9x = -0,6 \implies x_2 = -\frac{0,6}{9} = -\frac{6}{90} = -\frac{1}{15}$

Ответ: $0; -\frac{1}{15}$.

1096. Решите квадратное уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2+7x+12=0 \\ D=7^2-4·1·12=49-48=1 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{-7\pm 1}{2} \\ {x}_1=-3; x_2=-4 \end{gathered}$$

Ответ: -4; -3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2-2x-35=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-35\right)=4+140=144 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{2\pm 12}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-5 \end{gathered}$$

Ответ: -5; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2x^2-5x-3=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·2·\left(-3\right)=25+24=49 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}; x=\frac{5\pm 7}{4} \\ {x}_1=3; x_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}; 3-\backslash frac\{1\}\{2\};\; 3$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}3x^2-8x+5=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·3·5=64-60=4 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{6}; x=\frac{8\pm 2}{6} \\ {x}_1=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}; x_2=1 \end{gathered}$$

Ответ: 1; $1\frac{2}{3}1\backslash frac\{2\}\{3\}$

а) $x^2 + 7x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 1$, $b = 7$, $c = 12$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Ответ: -4; -3.

б) $x^2 - 2x - 35 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -2$, $c = -35$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Ответ: -5; 7.

в) $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Ответ: -0.5; 3.

г) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b = -8$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1; $1\frac{2}{3}$.